Faltungsprodukt

27.12.2015, 13:46

Funktionenfalter

Faltungsprodukt

Meine Frage:
Ich würde gerne das Faltungsprodukt $\begin{eqnarray*} h(x):=(f\ast g)(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=2x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Dazu habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{align*}<br /> h(x)&=\int f(x-t)g(t)\d t = \int (2x-2t+1)\cdot t^2 \d t \\<br /> h(x)&=\int (2xt^2-2t^3+2t^2) \d t<br /> \end{align*} \end{eqnarray*}$

In unserem Skript (und auch im Wikipedia-Artikel oder im Walter / Analysis 2) wird das Integral über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gebildet. Wenn ich das nun aber hier mache, kommt ja nichts Vernünftiges dabei raus.

Josef Raddy nimmt in seinem Video (https://youtu.be/5DLIxF9zOqY) hingegen als untere Grenze 0 und als obere Grenze x. Das tönt für mich plausibler, passt aber nicht zu dem, was an anderen Stellen steht.

Wer kann mir hier weiterhelfen?

27.12.2015, 13:50

Funktionenfalter

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Sorry, der LaTeX-Code funktionierte leider nicht, editieren kann ich nicht und «Weiter» überspringt offenbar die Vorschau...

$\begin{eqnarray*} h(x)=\int f(x-t)g(t)\mathrm d t=\int (2x-2t+1)\cdot t^2 \mathrm d t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\int (2xt^2-2t^3+2t^2) \mathrm d t \end{eqnarray*}$

27.12.2015, 14:21

Leopold

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RE: Faltungsprodukt

Zitat:

Original von Funktionenfalter
Meine Frage:
Ich würde gerne das Faltungsprodukt $\begin{eqnarray*} h(x):=(f\ast g)(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=2x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Zu einer Funktion gehört nicht nur ein Term, sondern auch ein Definitionsbereich. Der fehlt in deiner Angabe. Und genau deshalb funktioniert das Ganze vermutlich auch nicht.

27.12.2015, 14:31

URL

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RE: Faltungsprodukt
Im wikiartikel steht zudem noch

Zitat:

fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von x wohldefiniert ist

Im Walter wird vermutlich entsprechendes stehen oder er definiert die Faltung gleich nur für $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ Funktionen.

Vielleicht hilft uns hier - wie so oft - der gesamte Aufgabentext weiter.

27.12.2015, 15:46

Funktionenfalter

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RE: Faltungsprodukt
Ja, das stimmt. Im Walter steht: "Für zwei im R^n erklärte FUnktionen f, g [...] Die Integrale erstrecken sich hier und im folgenden über den ganzen R^n. [...] Zunächst braucht man Voraussetzungen, um die Existenz des uneigentlichen Integrals zu sichern." Konkret verlangt er, dass beide über jede Kugel B_r integrierbar sind und eine von beiden einen kompakten Träger hat.

Einen Aufgabentext gibt es nicht, ich habe einfach ein kurzes Beispiel machen wollen.

Ich kann ja jetzt die Funktion g(x) anders definieren:

$\begin{eqnarray*} g(x):=\begin{cases}x^2 & \text{für }|x|<1 \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann muss ich wohl über verschiedene Bereiche integrieren, weiss aber nicht genau wie bzw. welche.

Nicht beantwortet ist für mich damit die Frage nach dem Beispiel von Raddy. Er bestimmt das Faltungsprodukt von f(x)=x und g(x)=x^2 und setzt "einfach" die untere Integrationsgrenze als 0 und die obere als das Argument von h:=f*g. Wieso?

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