Vollständige Induktion zum Beweis einer Summenformel

27.12.2015, 19:08	Pingunaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion zum Beweis einer Summenformel Hallo liebe Community. Mittels vollst. Induktion soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} (i^2-1) = \frac{1}{6}(2n^3+3n^2-5n) \end{eqnarray}$ eine korrekte Aussage ist. Der Ansatz ist der übliche für die v.I. in welchem ich n=1 setze. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{1} (i^2-1) = (1-1) = 0 = \frac{1}{6}(2\cdot 1^3+3\cdot 1^2-5\cdot 1) \end{eqnarray}$ Die Vorraussetzung ist nun natürlich dass diese Ausage für ein beliebiges $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt. Mit dem Induktionsschritt geht man von n zu n+1 und bekommt entsprechend: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n+1}(i^2-1) = \sum\limits_{i=1}^{n}(i^2-1) + (n+1)^2 - 1 \end{eqnarray}$ Setzt man nun die Voraussetzung ein und rechnet ein wenig erhält man: $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}(2n^3+3n^2-5n)+(n+1)^2-1 = \frac{1}{6}(2n^3+3n^2-5n)+n^2+2n = \frac{1}{6}(2n^3+9n^2+7n) \end{eqnarray}$ Und das ist nun der Punkt an dem ich hänge. In der Vorlesung kommt man im nächsten und letzten Schritt auf die Form: $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}(2(n+1)^3+3(n+1)^2-5(n+1)) \end{eqnarray}$ Selbstredend ist der Beweis damit abgeschlossen. Wie kommt dieser letzte Schritt zustande? Es mag sein dass ich den Wald vor lauter Bäumen gerade nicht sehe. Ausmultiplizieren etc habe ich bereits versucht, aber das hat sich entsprechend als wenig zielführend herausgestellt. Für einen Wink mit dem Zaunpfahl oder eine Hilfestellung wäre ich entsprechend dankbar
27.12.2015, 19:17	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion zum Beweis einer Summenformel Hey, durch Ausmultiplizieren kommst du von dem letzten Schritt auf das Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}(2n^3+9n^2+7n) \end{eqnarray}$ , wie es ja sein soll. Es kann also sein, dass du dich verrechnet hast
27.12.2015, 19:18	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst doch das Ergebnis. Dann schreibe es um: $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}(2(n+1)^3+3(n+1)^2-5(n+1))=\frac{1}{6}(2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+3-5n-5)=\frac{1}{6}(2n^3+9n^2+7n) \end{eqnarray}$ Jetzt rückwärts lesen und du bist fertig.
27.12.2015, 19:25	Pingunaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach du liebe Zeit... den Wald vor lauter Bäumen nicht. Natürlich habt ihr Recht. Ich hab im Eifer des Gefechts tatsächlich einfach das selbe schlichte Spiel nicht mit der rechten Seite der Gleichung betrieben sondern mir einen Knoten in das Gehirn gedacht als ich die erhaltene Formel auf Biegen und Brechen in diese Form bringen wollte, statt es mir leicht zu machen. Danke vielmals!
27.12.2015, 19:26	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt schon mal vor Viel Erfolg weiterhin
27.12.2015, 19:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir die letzte Implikation nicht gelingt, dann ist das kein Beinbruch. Rechne diese einfach rückwärts durch Ausmultiplizieren. Das geht schon und stimmt auch
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