Summen und Produkte berechnen

28.12.2015, 11:25

jojo_

Summen und Produkte berechnen

Guten Tag,
ich hab noch irgendwie ein kleines Verständnisproblem. Es soll die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (2k-1) \end{eqnarray*}$ berechnet werden.
Ich kann noch nachvollziehen, dass man die Summe auseinder ziehen kann $\begin{eqnarray*} 2\sum_{k=1}^n k-1 = 2\sum_{k-1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss man aber wissen, was die Summe von k ist, die jetzt im Skript steht und kann das dann "ausrechnen". Jetzt verstehe ich nur nicht warum die letzte Summe n sein soll. Man rechnet ja 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ?

Das geht ja noch, sofern man hier und da ein paar Summen kennt. Nur verstehe ich das mit Produkten irgendwie fast gar nicht bzw kann auch nicht überzeugend die Lösungen nachvollziehen.
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=2}^n 1-\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
Es heißt nun, dass man das durch Kürzen raus bekommt, aber ich verstehe noch nicht einmal wie das Produkt gerechnet wurde:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \frac{2}{3} * \frac{3}{4} ... * \frac{n-2}{n-1}*\frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$
Wohin ist die eins sozusagen verschwunden und wie kommt man auf den Bruch?

28.12.2015, 11:56

sixty-four

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Es ist die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 1 = \underbrace{1+1+ \cdots + 1}_{n \; Summanden}= n \end{eqnarray*}$

Im Produkt schreibst du die 1 im ersten Faktor als $\begin{eqnarray*} \frac22 \end{eqnarray*}$ , im zweiten Faktor als $\begin{eqnarray*} \frac33 \end{eqnarray*}$ u.s.w. Dann sieht das Produkt so aus, wie es unten steht

28.12.2015, 12:02

klarsoweit

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RE: Summen und Produkte berechnen

Zitat:

Original von jojo_
Ich kann noch nachvollziehen, dass man die Summe auseinder ziehen kann $\begin{eqnarray*} 2\sum_{k=1}^n k-1 = 2\sum_{k-1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 \end{eqnarray*}$ .

Korrekt muß es heißen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (2k-1) = \sum_{k=1}^n (2k) - \sum_{k=1}^n 1 = 2\sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 \end{eqnarray*}$

Was das Prosdukt angeht, solltest du bedenken, daß $\begin{eqnarray*} 1 - \frac 1 k = \frac{k-1}{k} \end{eqnarray*}$ ist. smile

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