[Erledigt] Exhaustionsverfahren von Archimedes

28.12.2015, 15:28	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
[Erledigt] Exhaustionsverfahren von Archimedes Hallo an alle, ich habe Probleme mit einer numerischen Aufgabe. Ich poste hier nur die erste Teilaufgabe. In der kompletten Aufgabe geht es nämlich darum zwei iterative Formeln miteinander zu vergleichen. Hier also die erste Teilaufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ der Umfang eines einbeschriebenen n-Ecks (n >= 3 ). Zeigen Sie: Verdoppelt man die Eckenzahl, so ergibt sich für den Umfang des dadurch entstandenen 2n-Ecks die Rekursionsformel: $\begin{eqnarray} s_{2n} = n \sqrt{1- \sqrt{1 - (\frac{s_n}{n})^2 } } \end{eqnarray}$ Berechnen Sie ausgehend von $\begin{eqnarray} s_{3} = \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray}$ die Werte $\begin{eqnarray} s_{6} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} s_{12} \end{eqnarray}$ , ..., $\begin{eqnarray} s_{3072} \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass ich nicht mal $\begin{eqnarray} s_{6} \end{eqnarray}$ berechnen kann. :-P $\begin{eqnarray} s_{6} = 6 \sqrt{1- \sqrt{1 - (\frac{3}{2}\sqrt{3} \frac{1}{6})^2 } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 6 \sqrt{1- \sqrt{1 - (\frac{1}{4}\sqrt{3})^2 } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 6 \sqrt{1- \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{3}{16} } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 6 \sqrt{1- 0,433 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 6 * 0,7071 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 4,2426 \end{eqnarray*}$ Eigentlich sollte 3,0 rauskommen. Weiß jemand weiter? Habe ich falsch eingesetzt oder falsch gerechnet? Liebe Grüße, MatheKind
28.12.2015, 15:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exhaustionsverfahren von Archimedes Wenn $\begin{eqnarray} s_{2n} = s_6 \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sicher nicht $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ .
28.12.2015, 15:57	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wieder wahr. Also n = 3? Dann komme ich aber ebenfalls auf ein komplett falsches Ergebnis. $\begin{eqnarray} s_{6} = 3 \sqrt{1- \sqrt{1 - (\frac{3}{2}\sqrt{3} \frac{1}{3})^2 } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 3 * 0,7071 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{6} = 2,121 \end{eqnarray*}$
28.12.2015, 16:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} s_6 \end{eqnarray}$ kann ich (bis auf Rundung) bestätigen. Falls $\begin{eqnarray} s_6 = 3 \end{eqnarray}$ , dann kann man zurückrechnen zu $\begin{eqnarray} \left(\frac { s_3 } 3 \right)^2 = 1 \end{eqnarray}$ . Die Formel oder der Wert $\begin{eqnarray} s_3 \end{eqnarray}$ stimmt nicht. Da hier $\begin{eqnarray} s_6 < s_3 \end{eqnarray}$ sicherlich Stuss ist, würde ich mal einfach annehmen die Lösung stimmt.
28.12.2015, 16:16	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mal gegoogled und scheinbar ist das ein Copy&Paste-Fehler auf dem Übungsblatt. Da fehlt noch eine 2: https://books.google.de/books?id=kxybBgA...himedes&f=false Wobei bei dem Buch auch eine geschlossene Klammer zu fehlen scheint. Richtig müsste es also heißen: $\begin{eqnarray} s_{2n} = n \sqrt{2(1- \sqrt{1 - (\frac{s_n}{n})^2 }) } \end{eqnarray}$ Dann kommt man auf $\begin{eqnarray} s_6 = 3 1 \end{eqnarray*}$
28.12.2015, 16:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wird wohl dann stimmen -- aber das siehst du ja dann spätestens wenn du die Formel beweist
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28.12.2015, 16:38	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "Zeigen Sie" war bestimmt auch ein Copy & Paste Fehler.
28.12.2015, 16:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Netter Versuch -- aber so einfach wirst du dich davor wohl nicht drücken können

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