Frage zum Untervektorraum - Seite 2

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30.12.2015, 16:18

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RE: Frage zum Untervektorraum

Das ist jetzt nicht dein Ernst, oder?
Wo ist denn da der Unterschied??

30.12.2015, 16:23

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Da gibt es kein Unterschied. Dachte nur wg. Aufschrieb! Ist ja auch egal. Folgendes habe ich mir überlegt:

Entweder:

$\begin{eqnarray*} A^{T}=-A \wedge 1=-1 \Rightarrow 1*A^{T}=(-1)*-A \Rightarrow A^{T}=A \end{eqnarray*}$ .

o.

wg. $\begin{eqnarray*} A=A^{T}=-A \Rightarrow A^{T}=-A=(-1)A=1A=A \end{eqnarray*}$

oder?

30.12.2015, 16:29

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RE: Frage zum Untervektorraum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^{T}=-A \wedge 1=-1 \Rightarrow 1*A^{T}=(-1)*-A \Rightarrow A^{T}=A \end{eqnarray*}$ .

verstehe ich und das ist richtig.

Zitat:

wg. $\begin{eqnarray*} A=A^{T}=-A \Rightarrow A^{T}=-A=(-1)A=1A=A \end{eqnarray*}$

Was du damit sagen willst, ist mir wieder völlig schleierhaft. Für mich steht da: Wegen A=A^T folgt A^T=A. Das ist aber doch selbstverständlich.

30.12.2015, 16:31

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
$\begin{eqnarray*} A^{T}=-A \wedge 1=-1 \Rightarrow 1*A^{T}=(-1)*-A \Rightarrow A^{T}=A \end{eqnarray*}$ .

Hieraus kann ich nun schlussfolgern, dass jede schiefsymmetrische Matrix auch symmetrisch ist- und umgekehrt.

Das ist ein Widerspruch zu meiner Annahme, dass $\begin{eqnarray*} Sym(A)\bigcup Ssym(A)= \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ist.

30.12.2015, 16:36

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RE: Frage zum Untervektorraum
Die Annahme ist
$\begin{eqnarray*} Sym(A)\textcolor{red}{\bigcap} Ssym(A)= \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$
der Widerspruch ist richtig.

30.12.2015, 16:37

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Genau! Danke für die Verbesserung! Außerdem vielen Dank für deine Geduld und die Hilfe. Ich wünsche Dir einen guten Rutsch ins neue Jahr.

LG Der Pinguinagent

30.12.2015, 16:40

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RE: Frage zum Untervektorraum
Guten Rutsch und guten Start ins hoffentlich gute Jahr 2016!

04.01.2016, 18:37

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Ersteinmal ein frohes neues Jahr und hoffe du bist gut reingerutscht. Ich möchte Dich nicht nerven, aber ich wollte Dich mal fragen, ob Du eine Idee zur folgender Aufgabe hast (Ist dringend meine letzte Aufgabe und muss morgen abgegeben werden):

Sei V ein zweidimensionaler F2-Vektorraum.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V .
b) Beschreiben Sie die Gruppe AutF2 (V ) explizit durch Angabe einer Gruppentafel.

Mein Lösungsansatz:

a) $\begin{eqnarray*} \frac{(p^{n}-q)(p^{n}-p)}{n!}=\frac{(2^{2}-1)(2^{2}-2}{2!}=3 \end{eqnarray*}$

b) Wenn man drei Basen hat existieren insgesamt 6 Abbildungen, d.h. man hat z.B. folgende Abbildungen.

$\begin{eqnarray*} A1: (v1,v2) --> (v1,v2), A2: (v1,v2) --> (v1,v3), A3: (v1,v2) --> (v2,v1), A4: (v1,v2) --> (v2,v3), A5: (v1,v2) --> (v3,v1), A6: (v1,v2) --> (v3,v2) \end{eqnarray*}$

(Alle verschieden)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Durch Ausschreibung der Abbildungen A1-A6 und Multiplikation aller Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} A_{i}*A_{j}=A_{k} \end{eqnarray*}$ habe ich folgende Tabelle rausbekommen:

(Hinweis: Horizontal geht die Tabelle von A1-A6 und vertikal A1-A6 (insgesamt eine 6x6 Tabelle))

Zeile 1. $\begin{eqnarray*} A1,A2,A3,A4,A5,A6 \end{eqnarray*}$
Zeile 2. $\begin{eqnarray*} A2,A1,A5,A6,A3,A4 \end{eqnarray*}$
Zeile 3. $\begin{eqnarray*} A3,A4,A1,A2,A6,A5 \end{eqnarray*}$
Zeile 4. $\begin{eqnarray*} A4,A3,A6,A5,A1,A2 \end{eqnarray*}$
Zeile 5. $\begin{eqnarray*} A5,A6,A2,A1,A4,A3 \end{eqnarray*}$
Zeile 6. $\begin{eqnarray*} A6,A5,A4,A3,A2,A1 \end{eqnarray*}$

Wenn das stimmt, würde die Tabelle auch für geordnete Tupel, also mit 6 Basen, gelten?

Ein Kollege von mir meint, dass sie gleich der Gruppe $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ ist. Link zur Gruppe $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ : https://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe) und somit $\begin{eqnarray*} Aut(\mathbb F_2^2)\cong S_3 \end{eqnarray*}$ . Wäre meine Tafel auch iso?

LG DerPinguinagent

04.01.2016, 19:36

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RE: Frage zum Untervektorraum
Soso, ein Kollege. Der heißt nicht zufällig Elvis, denn der hat dir doch schon alles gesagt
Ich finde es übrigens ziemlich unhöflich, mir diese Frage unterschieben zu wollen unglücklich

04.01.2016, 19:39

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Nein das ist nicht Elvis. Ein Kollege aus der Uni. Elvis hat mir ein Link geschickt und soll ich vergleichen. Diese stimmt nicht mit meiner Tafel überein. Hast du vielleicht eine Idee mit der ich die Aufgabe lösen kann? Alles gesagt? Finde ich nicht! Hoffe, dass du mir trotzdem helfen kannst.

04.01.2016, 19:43

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RE: Frage zum Untervektorraum
Keine, die Elvis nicht schon genannt hätte.

04.01.2016, 19:44

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Was habe ich den falsch gemacht, dass meine Tabelle nicht S3 ergibt? Kann ja mal ein Beispiel rechnen.

04.01.2016, 19:52

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RE: Frage zum Untervektorraum
Wie hast du denn die beiden Tabellen verglichen?
Beispiel kann helfen.

04.01.2016, 20:12

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Was habe ich den falsch gemacht, dass meine Tabelle nicht S3 ergibt? Kann ja mal ein Beispiel rechnen.

A2: (v1,v2) --> (v1,v3)

$\begin{eqnarray*} 0-->0, v_{1}-->v_{1},v_{2}-->v_{3}=v_{1}+v_{2} und v_{3}=v_{1}+v_{2}->v_{1}+v_{3}=v_{1}+v_{1}+v_{2}=v_{2} \end{eqnarray*}$

A4: (v1,v2) --> (v2,v3)

$\begin{eqnarray*} 0-->0, v_{1}-->v_{2},v_{2}-->v_{3}=v_{1}+v_{2} und v_{3}=v_{1}+v_{2}->v_{2}+v_{3}=v_{2}+v_{1}+v_{2}=v_{1} \end{eqnarray*}$

A(2)*A(4)

$\begin{eqnarray*} A2*A4(v_{1})=A2(A4(v_{1}))=A2(v_{2})=v_{3} A2*A4(v_{2})=A2(A4(v_{2}))=A2(v_{3})=v_{2} => (v_{1},v_{2})-->(v_{3},v_{2}) \end{eqnarray*}$

Also A4*A2=A6

Zeile 1. $\begin{eqnarray*} A1,A2,A3,A4,A5,A6 \end{eqnarray*}$
Zeile 2. $\begin{eqnarray*} A2,A1,A5,A6,A3,A4 \end{eqnarray*}$
Zeile 3. $\begin{eqnarray*} A3,A4,A1,A2,A6,A5 \end{eqnarray*}$
Zeile 4. $\begin{eqnarray*} A4,A3,A6,A5,A1,A2 \end{eqnarray*}$
Zeile 5. $\begin{eqnarray*} A5,A6,A2,A1,A4,A3 \end{eqnarray*}$
Zeile 6. $\begin{eqnarray*} A6,A5,A4,A3,A2,A1 \end{eqnarray*}$

Zeile 1. $\begin{eqnarray*} e d d^{2} s_{1} s_{2} s_{3} \end{eqnarray*}$
Zeile 2. $\begin{eqnarray*} d d^{2} e s_{3} s_{1} s_{2} \end{eqnarray*}$
Zeile 3. $\begin{eqnarray*} d^{2} e d s_{2} s_{3} s_{1} \end{eqnarray*}$
Zeile 4. $\begin{eqnarray*} s_{1} s_{2} s_{3} e d d^{2} \end{eqnarray*}$
Zeile 5. $\begin{eqnarray*} s_{2} s_{3} s_{1} d^{2} e d \end{eqnarray*}$
Zeile 6. $\begin{eqnarray*} s_{3} s_{1} s_{2} d d^{2} e \end{eqnarray*}$

Wähle mal 5 zufällige Werte und vergleiche die mal mit meiner Tabelle.

04.01.2016, 20:19

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RE: Frage zum Untervektorraum
womit hast du das in der Tabelle verglichen?

04.01.2016, 20:57

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Die Tabelle habe ich mit dem Wikipediaeintrag verglichen, die mir Elvis gegeben hat

04.01.2016, 21:07

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RE: Frage zum Untervektorraum
Welche Zeile? Oder anders gefragt: Welchen Spiegelungen bzw. Drehungen hast du A_2 bzw. A_4 zugeordnet?

04.01.2016, 21:16

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Hab das mal bei Matheonline hochgeladen ansonsten ging es nicht!

04.01.2016, 21:20

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum

http://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/5e64f86205daf9cf72e377d3d90bc7f4.jpg

04.01.2016, 21:21

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RE: Frage zum Untervektorraum
Beantworte doch mal die Frage: Welchen Spiegelungen bzw. Drehungen hast du A_2 bzw. A_4 zugeordnet?
Edit: Das Bild sagt nicht viel aus. A_1 ist die Identiät, also ist die Zeile sicher richtig.

04.01.2016, 21:22

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
A4 Vertikal und A2 Horizontal. Ich habe immer Vertikal mal horizontal gerechnet.

04.01.2016, 21:30

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RE: Frage zum Untervektorraum
Du sagst, deine Tabelle passt nicht zur Verknüpfungstabelle der S_3. Letztere gibts bei wikipedia. Dort ist die Rede von Spiegelungen und Drehungen. Du musst deine Automorphismen schon mit den richtigen Spiegelungen und Drehungen identifizieren. Oder wie willst du sonst die Tabellen vergleichen?

04.01.2016, 21:32

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Achso versuche es nochmal andersherum Freude

04.01.2016, 21:37

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RE: Frage zum Untervektorraum
Wenn ich das recht sehe, ist dein A_2 die s_1 im wikipediaartikel, A_4 ist d und $\begin{eqnarray*} s_1\circ d = s_2 \end{eqnarray*}$ und das ist dein A_6.

04.01.2016, 21:37

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Ja

04.01.2016, 21:38

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RE: Frage zum Untervektorraum
und was soll dann da nicht stimmen? unglücklich

04.01.2016, 21:39

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Also es ist egal wie ich die die Tabelle spiegel oder? Muss ich die noch drehen?

04.01.2016, 21:46

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RE: Frage zum Untervektorraum
Ich sage es nochmal: Du musst deine Automorphismen schon mit den richtigen Spiegelungen und Drehungen identifizieren.

04.01.2016, 21:52

DerPinguinagent

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RE: Frage zum Untervektorraum
Kannst du mir kurz erklären wie ich das mache. Den Rest schaffe ich dan selber. Velen Dank für die Hilfe schonmal im Voraus!

04.01.2016, 22:03

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RE: Frage zum Untervektorraum
Du hast drei Vektoren v_1, v_2, v_3
Der Vektor v_i führt zur Ecke mit der Nummer i eines Dreiecks.
Jetzt schaust du dir an, was die Abbildung A_2 mit den Ecken macht und stellst fest, dass es die Spiegelung s_1 ist (weil Ecke 1 fix bleibt). Genauso für den Rest (genau genommen sind nur noch zwei Abbildungen übrig, den Rest habe ich dir schon abgenommen)

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