Frage zum Untervektorraum

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DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Untervektorraum
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:

Sei K ein Körper. Eine Matrix A el. Kn×n heißt symmetrisch, wenn A = A^(T), und schiefsymmetrisch, wenn A = -A^(T). Zeigen Sie, dass die Mengen der symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrizen jeweils Untervektorräume von K^(n×n) bilden. Zeigen Sie weiter, dass unter der zusätzlichen Annahme 1 ungleich -1 an den Körper K gilt
Kn×n = {A el. Kn×n : A symmetrisch} (+) {A el. Kn×n : A schiefsymmetrisch}. Gilt diese Aussage auch in Körpern mit 1 = -1

Meine Ideen:
Folgenden Lösungsansatz habe ich.

Das A = A^(T) und A = -A^(T) UVR sind ist Klar (Hier brauche ich keine Hilfe)

Im folgenden brauche ich dringend Hilfe!

Z.z.: Sym(A)(+)Ssym(A)=K^(nun) - (+):=Direktes Summenzeichen -

Da sym(A) und Ssym(A) UVR von V sind. Wählen wir eine Matrix A^(nxn) und wählen wir eine schiefsymetrische Matrix S und ein schiefsymetrisches T für die gilt: A=T+S. Sei also S^(T)=((1/2)*(A-A^(T))=(1/2)*(A^(T)-(A^T)^(T))=(1/2)*(A^(T)-A)=-S und wählt man T so T^(T)=((1/2)*(A+A^(T)))=(1/2)*(A^(T)+(A^(T))^(T))=(1/2)*(A^(T)+A)=T. Definiert man nun A=(1/2)*(A+A^(T))+(1/2)*(A-A^(T))=T+S. => T+S ist ein Element Sym(A)(+)Ssym(A) => K^(nxn)=Sym(A)(+)Ssym(A)

Q.E.D.

kann mir einer sagen, ob mein Beweis richtig ist?

Vielen Dank im voraus!
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RE: Frage zum Untervektorraum
Dein Aufschrieb ist einigermaßen unleserlich. Du möchtest Hilfe? Dann könntest du wenigstens den Editor verwenden geschockt
Deinen Aufschrieb finde ich ein wenig konfus.
Zitat:
Sei also S^(T)=((1/2)*(A-A^(T)=[...] =-S

Was soll denn da sein? Was ist Definition, was sind Eigenschaften, die aus der Definition folgen?
Besser wäre: Sei S=... Dann gilt S^T=...-S
Analog für T

Noch schöner fände ich es, wenn S und T nicht einfach vom Himmel fallen. Bei dieser Aufgabe kann man A=S+T mit schiefsymetrischem S und symetrischem T ansetzen, dann A^T betrachten und aus den beiden Gleichungen S und T bestimmen.
Dann weist man nach, dass dieses S und T tatsächlich (schief)symmetrisch sind.

Warum ist die Summe eine direkte Summe? Was ist mit dem speziellen Körper, in dem 1=-1 gilt?
 
 
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Du hast recht und ich möchte mich an dieser Stelle erst einmal entschuldigen. Ist das so richtig?

Sym(A):=symmetrische Matrix A Ssym(A):=Schiefsymetrische Matrix A



Hierzu wählen wir eine Matrix und wählen eine schiefsymetrische Matrix und eine Symmetrische Matrix , für die gilt: .

Sei also eine schiefsymmetrische Matrix, dann gilt:

und sei nun eine symmetrische Matrix, dann gilt:

Definiere nun:




DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
b) Bei 1=-1 komme ich nicht weiter. Hast du da vielleicht ein (guten) Ansatz für mich. Ich denke, dass der Fall 1=-1 gilt, weiß aber nicht wie ich das zeigen soll!

a) Aber wie kann ich mit bestimmen? Habe dazu keine Idee. Hast du vielleicht ein Tipp für mich?
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RE: Frage zum Untervektorraum
Zitat:

Sei also eine schiefsymmetrische Matrix, dann gilt:

Das ist nicht besser unglücklich Sei S eine schiefsymmetrische Matrix, dann gilt.... was dann folgt gilt ganz und gar nicht für jede beliebige schiefsymmetrische Matrix.

Warum trennst du nicht sauber Definition von S und daraus resultierende Eigenschaften:
Sei Dann gilt . Also ist S schiefsymmetrisch.
Dann analog für T. Und dann ist A=S+T die gesuchte Darstellung.

Damit ist K^n die Summe der beiden Unterräume. Warum ist es die direkte Summe?

Aus folgt , also .
Das liefert dann T - jedenfalls wenn man durch 2 dividieren kann.
Kann man das nicht, also im Fall 1=-1, dann kann man aus der Gleichung auch leicht ein A konstruieren, das nicht in der Form A=S+T darstellbar ist.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
In der Aufgabenstellung steht für . deshalb zeige ich das mit der direkten Summe!
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RE: Frage zum Untervektorraum
Wo hast du gezeigt, dass es eine direkte Summe ist?
Vielleicht verstehst du darunter auch etwas anderes als ich. Was also ist für dich eine direkte Summe?
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Die "Direkte Summe" haben wir folgendermaßen in der Uni definiert. Sei V ein K-VR und V,W UVRe. Dann gilt .
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RE: Frage zum Untervektorraum
Hast du schon gezeigt,dass der Durchschnitt der hier beteiligten Unterräume nur die Null enthält? Habe ich das überlesen? verwirrt
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Ich dachte, dass ist klar. Beide Räume sind nichtleer (Unteraumkriterum), da die Nullmatrix sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch ist:
=>
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RE: Frage zum Untervektorraum
Dass der Schnitt zweier Vektorräume immer (mindestens) den Nullvektor enthält ist klar. Du musst aber zeigen, dass der Schnitt keinen anderen Vektor enthält, sprich dass es keine andere Matrix gibt, die sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch ist.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Stehe jetzt etwas auf dem Schlauch. Hast du ein Tipp?
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RE: Frage zum Untervektorraum
Ist dir klar, dass du das zeigen musst?
Für so eine Matrix ist
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Zitat:
Das ist mir klar, weiß aber ab hier nicht weiter!
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RE: Frage zum Untervektorraum
was würdest du denn bei der Gleichung tun?
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Ich würde die Gleichung lösen, und zwar:
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Ich hätte das folgendermaßen gezeigt.

.

Damit ist gezeigt, das die Nullmatrix die einzige Matrix ist, die sowohl symmetrisch als auch schilfsymmetrisch ist.

=>
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RE: Frage zum Untervektorraum
Ja, das ist auch richtig so.
Damit können wir uns also dem Fall -1=1 widmen.
Am schnellsten geht wohl der Nachweis, dass es keine direkte Summe sein kann.
Tatsächlich ist sogar mehr als die Summe - auch das ist nicht schwer zu zeigen. Du hast also die freie Auswahl smile
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Eigentlich das selbe wie oben, nur das wg. 1+1=0 nicht durch zwei Teilbar ist. Hieraus folgt, dass der der Schnitt von den beiden UVR nicht Null ist.
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RE: Frage zum Untervektorraum
Ich sehe nicht, wie das daraus folgt. Schließlich gilt für jede beliebige Matrix die Gleichung 2A=0
Ich würde mir überlegen, was aus im Fall -1=1 folgt.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Hast du vielleicht ein Tipp für mich?
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RE: Frage zum Untervektorraum
Denk darüber nach was ich sagte
Zitat:
Ich würde mir überlegen, was aus im Fall -1=1 folgt.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Ich bin mir nicht sicher. Habe mir folgendes mal aus dem Ärmel gezaubert : Versuche zu zeigen, dass ist. . Bin mit dem Vorgang der Charakteristik noch nicht so ganz vertraut. Kann auch sein, dass ich das falsch verstanden habe.

UPDATE: Sorry hatte den Hinweis von Dir nicht gesehen!
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RE: Frage zum Untervektorraum
Zitat:
.

Tut mir leid, aber das ergibt für mich überhaupt keinen Sinn. A=1? Die Matrix A ist gleich dem Körperelement 1?
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Dachte vielleicht besitzt sowohl sym(A) als auch ssym(A) die Einheitsmatrix, wenn gilt 1=-1.
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RE: Frage zum Untervektorraum
Das ist richtig. Aus und -1=1 folgt doch sogar . Jede schiefsymmetrische Matrix ist also auch symmetrisch - und umgekehrt.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Kann ich das auch so auf schreiben wie oben? oder soll ich E statt 1 schreiben?
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RE: Frage zum Untervektorraum
Wie ich schon sagte - es ergibt für mich keinen Sinn. Wie kommst du auf ?
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Dachte wegen der Charakteristik 1+1=0 => Charakteristik 2 und umstellen nach .
Dann dachte ich, man kann das gleich der Charakteristik 2 setzen =>

Kann ich sonst das was du gesagt hast so aufschreiben?

.
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RE: Frage zum Untervektorraum
Selbst mit viel gutem Willen steht dann da 0=0. Ich verstehe nicht, wie du da weiter rechnest unglücklich
Und wie daraus A=E folgen soll.
Offenbar ist doch (schief)symmetrisch aber nicht die Einheitsmatrix. Also kann deine Folgerung auch nicht richtig sein.

Edit: Jetzt weiß ich überhaupt nicht mehr was du willst. Du hast jetzt allem Anschein nach gezeigt, dass ist. Was hat das mit dem zu tun, was ich gesagt habe?

Edit2: Mal Klartext: Was willst du jetzt eigentlich zeigen? Ich habe dir oben zwei Möglichkeiten genannt. Welche verfolgst du gerade?
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Wollte an dieser Stelle nochmal mein UPDATE betonen, falls es Dir noch nicht aufgefallen sein sollte ;-)

"Kann ich sonst das was du gesagt hast so aufschreiben?

."

PS: Du hast doch ein Lösungsvorschlag oben genannt. Versuche den gerade nachzuvollziehen! ;-) Dachte du hast ein hoch T vergessen, deswegen habe ich versucht zu zeigen, dass aus folgt! Vielleicht bin ich auch gerade etwas konfus!
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RE: Frage zum Untervektorraum
Also nochmal: Ich schrieb
Zitat:
Ich würde mir überlegen, was aus im Fall -1=1 folgt.

Das meinte ich auch so. Dann hast du Dinge getan, die ich nicht verstehe, und ich schrieb
Zitat:
Aus und -1=1 folgt doch sogar . Jede schiefsymmetrische Matrix ist also auch symmetrisch - und umgekehrt.

Das bedeutet aber doch offensichtlich, dass der Unterraum der symmetrischen Matrizen mit dem Unterraum der schiefsymmetrischen Matrizen identisch ist. Von einer direkten Summe kann also überhaupt nicht die Rede sein.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Oh man jetzt bin ich ganz verwirrt. Sorry! Hammer

Also nochmal von vorn. Ich wollte zeigen, dass das nicht gilt für 1=-1.

Dazu hast du mir den Tipp gegeben was mit passiert oder?

Bin daran ja gescheitert und habe versucht dein Lösungsvorschlag zu verstehen, der lautete:

Zitat:

Zitat:
Aus und -1=1 folgt doch sogar . Jede schiefsymmetrische Matrix ist also auch symmetrisch - und umgekehrt.


worauf ich versuchte zu verstehen wie du darauf gekommen bist- dachte auch, dass du meintest anstelle .

Weshalb ich folgendes gemacht habe:

Zitat:
."


was ja auch nicht richtig ist. Weshalb ich denke, dass du folgendes gemacht hast:

.". Hieraus hast du dann deine Schlussfolgerung gezogen oder sehe ich das falsch? verwirrt
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RE: Frage zum Untervektorraum
Zitat:

.".

Wenn das rot markierte ein Tippfehler ist und da eigentlich übehaupt nicht stehen sollte, dann liegst du richtig.

Obwohl ich direkt geschrieben hätte
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Oh man, ich glaube heute wird das nichts mehr! Hammer Ich verstehe nur noch Bahnhof. Vielleicht wird es ja Zeit für die Koje Schläfer
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RE: Frage zum Untervektorraum
Ich weiß offen gesagt auch nicht mehr, was du noch willst. Ich habe dir schon zweimal gesagt, warum die Summe keine direkte Summe sein kann. Was du daran nicht verstehst, entgeht mir. Zumal du auch nie eine konkrete Frage dazu stellst sondern nur mit einigermaßen abstrusen Umformulierungen daher kommst.
Pause scheint mir auch eine gute Idee zu sein.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Guten Morgen! Wink Ich habe mir mal unseren Chatverlauf von Gestern angeguckt und mir ist aufgefallen, dass du glaube ich eine andere Definition von Symmetrisch und Schilfsymmetrisch hast.
In der Uni haben wir (schief)symmetrisch folgendermaßen definiert:

Zitat:
heißt symmetrisch, wenn , und schiefsymmetrisch, wenn .".


Du hast mir als Tipp gegeben, ich solle mir überlegen was mit

Zitat:


passiert. Ich verstehe aber nicht, wie du auf diese Gleichung kommst? Soll das deine Definition von Schielfsymmetrie sein?

Wenn ja, ist das auch, meiner Meinung nach, der Grund, warum ich gestern dein "Lösungsversuch", der folgendermaßen lautete:

Zitat:
Aus und -1=1 folgt doch sogar . Jede schiefsymmetrische Matrix ist also auch symmetrisch - und umgekehrt.


nicht nachvollziehen konnte und ich so verwirrt war.

Könntest du mir dein Lösungsversuch genauer erläutern? (Ansonsten werden wir uns glaube immer weiter im Kreis drehen!) Wieso kann man aus auf schließen? Müsste das nicht im meinem Fall (Definition) heißen ?

PS: Du hattest auf jeden Fall recht, dass
Zitat:
.
kein Sinn macht. Alles andere, was ich zu den Fall 1=-1 geschrieben habe ist ebenfalls falsch und betrachten wir nicht mehr;-) :-)

LG Der Pinguinagent
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Nochmal zu oben, vorletzte Frage. Meine Idee war gestern, um herauszufinden, wie du von auf schließt:

Zitat:
."


Da ich dachte, dass es heißen müsste auf

hatte ich folgende Idee:

Zitat:
."


Du meintest zu letzteres:

Zitat:


.".

Wenn das rot markierte ein Tippfehler ist und da eigentlich übehaupt nicht stehen sollte, dann liegst du richtig.

Obwohl ich direkt geschrieben hätte

Das habe ich auch nicht so ganz verstanden!
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RE: Frage zum Untervektorraum
Vergiss mal den ganzen Käse da oben, das bekommen wir nie mehr geregelt smile
Starte mit einer schiefsymmetrischen Matrix A, also einer Matrix, für die gilt. Und daraus folgerst du jetzt bitte, dass auch gilt.
DerPinguinagent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Untervektorraum
Wir hatten (schief)symmetrisch folgendermaßen eingeführt heißt symmetrisch, wenn und schiefsymmetrisch,
wenn .

Da weiß ich nicht, ob es sinnvoll ist mit einer anderen Definition zu arbeiten ;-)
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