Integral von x*wurzel(4-x^2) ?

28.12.2015, 23:14

jDave

Integral von x*wurzel(4-x^2) ?

Meine Frage:
Hey Leute,

meine Frage ist, wie kann man folgendes am kleversten integrieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \! f(x) \, dx =\int_{-1}^{2} \! x*\sqrt{4-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Ich hätte evtl. eine Idee aber ich glaube das es nicht zum Ziel führt.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre evtl. mit der Partiellen Integration vorzugehen:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx =\int_{a}^{b} \! u(x)*v'(x) \, dx = u(x) * v(x) - \int_{a}^{b} \! u'(x) * v(x) \, dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u(x)=\sqrt{4-x^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=x \end{eqnarray*}$

und dann würde man rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \! f(x) \, dx =\int_{-1}^{2} \! x*\sqrt{4-x^{2} } \, dx = \sqrt{4-x^{2} }*\frac{1}{2} *x^{2} -\int_{-1}^{2} \! \frac {-x}{ 2*\sqrt{4-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

und dann wiederum mit Partialbruchzerlegung

28.12.2015, 23:24

Bjoern1982

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Man entscheidet sich für die partielle Integration, weil man es erreichen möchte, dass das neue Integral dann einfacher wird.
Ist das hier bei dir der Fall ?

Welche Integrationsmethode(n) kennst du noch und vor allem, wann bietet es sich besonders an, die jeweilige Methode zu benutzen ?

29.12.2015, 12:36

jDave

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Ich kenn noch:
Einfache Quotientenregel
"Logarithmus" Integration
Integrations durch Substitution
Partielle Integration
Partielle Bruchzerlegung

aber mit keiner könnte folgende Funktion am einfachsten aufleiten unglücklich

hätte auch keine Ideen mehr

29.12.2015, 13:09

Bjoern1982

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Zitat:

Integrations durch Substitution
Partielle Integration

Das hier sind doch die beiden zentralen Integrationsmethoden.
Die anderen Begriffe, die du nennst, haben mit Integration entweder gar nichts zu tun oder dienen nur als Hilfsmittel.

Du hast auch nicht auf meine erste Frage geantwortet - dann werde ich auf deinen obigen Ansatz auch nicht weiter eingehen, selbst Schuld. Augenzwinkern

Machen wir kein weiteres Geheimnis daraus, man sollte hier mit Integration durch Substitution arbeiten.
Das fundamentale Kennzeichen dafür, dass das hier angebracht wäre, ist, dass die Ableitung der entsprechenden inneren Funktion (bis auf einen konstanten Faktor) als Faktor da steht.
Wenn ich also schon sehe, dass 4-x² unter der Wurzel steht und die Ableitung davon ja "irgendwas mit x" ist, dann schrei ich innerlich ja schon "juhu", denn vor dem Wurzelterm steht ja dankenswerterweise schon ein Faktor mit x. Tanzen