Lineare DGL: Reduktion der Ordnung

29.12.2015, 16:07

Ck247

Lineare DGL: Reduktion der Ordnung

Hallo
ich sitze hier gerade und versuche die partikuläre Lösung folgender DGL mithilfe der Reduktion der Ordnung zu bestimmen, nur leider gibt es da noch einige Komplikationen:

$\begin{eqnarray*} y^{'''}-y^{''}+y^{'}-y = 1-x \end{eqnarray*}$

Ich habe zwar in meinen Unterlagen den Lösungsweg, nur erschließt sich mir der Grund nicht immer. Die Bestimmung der homogenen Lösung war machbar, das Fundamentalsystem habe ich aufgestellt.

Als Ansatz gelte:

$\begin{eqnarray*} y_{p}(x)= c(x)*e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ (Skript)

Wenn man das nun bis zur dritten Ableitung ableitet und jeweils in die DGL einsetzt (statt y eben y_p) kann man erneut reduzieren nämlich mit d=c'. Von der neuen DGL mit nun d statt c wird wieder ein Fundamentalsystem bestimmt.
So und ab hier komme ich nicht weiter da die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (d'' + 2d' + 2d=...) komplex sind und der Ansatz $\begin{eqnarray*} d_{p}(x)=... \end{eqnarray*}$ wie bei $\begin{eqnarray*} y_{p}(x)=... \end{eqnarray*}$ nicht mehr funktioniert (wir haben ja dann ein Fundamentalsystem bestehend aus e^x sin(x) und e^x cos(x) (einfache komplexe Nullstelle).

Wie komme ich ab diesem Punkt weiter? Man soll ja immerwieder eine Fundamentallösung von Typ e^lamba*x wählen.

Ich hoffe man kann das hier einigermaßen nachvollziehen smile

MfG

29.12.2015, 16:31

Mathema

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Wieso möchtest du überhaupt nun Variation der Konstanten machen und nicht einfach die Ansatzmethode? Das wäre ein Zweizeiler.

29.12.2015, 16:48

Ck247

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Diese Aufgabe ist nur ein Beispiel das mit der Reduktion der Ordnung gelöst werden sollte und ich habe versucht es nachzuvollziehen (zumindest fängt die Lösung so an und später kommt man halt zu diesem Punkt wo ich nun bin und dann wechselt man auch irgendwie zur Ansatzmethode).

Ich dachte, dass man diese Aufgabe vollständig mit der Reduktion der Ordnung lösen könnte, klappt ja aber irgendwie nicht mehr, sobald die DGL die 2. Ordnung erreicht.

29.12.2015, 18:07

Mathema

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Ja - ich habe auch ein wenig gerechnet. Durch Variation der Konstanten komme ich auch auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} c''+2c'+2c=xe^{-x} \end{eqnarray*}$ . Möchte man hier wieder das Verfahren anwenden, wird es wohl ziemlich wild, daher vermutlich der Wechsel der Methode in deinem Skript.

Ich frage mich nur, wieso nicht gleich denn die Ansatzmethode gewählt wurde. Mit $\begin{eqnarray*} y_h=c_1e^x+c_2\sin(x)+c_3\cos(x) \end{eqnarray*}$ und Ansatz $\begin{eqnarray*} y_p=a_0+a_1x \end{eqnarray*}$ ergibt sich nach zwei Zeilen $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} y_p=x \end{eqnarray*}$ .

29.12.2015, 18:34

Ck247

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Das habe ich mich auch gefragt, man wollte wohl einfach die Methode der Reduktion einführen.

Kann man denn sagen, dass sich die Reduktion der Ordung nur solange lohnt, wie mindestens eine der Fundamentallösungen ein Typ gemäß $\begin{eqnarray*} y_{p}(x)=c(x) e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ ist? Weil mit den anderen Fundamentallösungen scheint es ja nicht zu klappen, außer halt mit e^x

29.12.2015, 19:23

Mathema

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Zitat:

Weil mit den anderen Fundamentallösungen scheint es ja nicht zu klappen, außer halt mit e^x

Variation der Konstanten klappt immer, es wird hier nur kompliziert. Hier würde es auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} c''+2c'\cot(x)=x\csc(x) \end{eqnarray*}$ führen. Die Ordnung wäre also wieder reduziert.

Bei Gleichungen mit konstanten Koeffizienten und rechten Seiten, die aus Summen von Produkten von Polynomen und Exponential bzw. Trigonometrischen Funktionen bestehen, nimmt man jedoch Ansätze, dieses ist wesentlich einfacher und geht schneller.

30.12.2015, 11:13

Ck247

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Alles klar danke dir!

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