Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem

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GanzNormal Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Meine Frage:
Hi, ich komm mit fogender Aufgabe nicht klar:

Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = (a/(0.025x-0.075))-10

Aufgabe: Die Nullstellentangente schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Für welches a bildet sie ein Extremum, welche Art liegt vor?

Bei solchen Aufgaben hat man ja meistens zwei Bedingungen, damit man eine Funktion aufstellen kann.
Eine hab ich, nämlich die Berechnung der gegebenen Fläche (A=x/2*y). Aber ich weiss nicht, wie ich mir aus den übrigen Informationen eine Funktion zusammenbasteln kann, die mir zeigt, für welche x und y Werte die Fläche am größten wird.

Hoffe auf Hilfe und Danke schonmal im voraus!!

Meine Ideen:
Flächenberechnung von einem Dreieick: G/2 * h; übertragen auf das Koordinatensystem also x/2 *y.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Guten Morgen,

ich gebe Dir ein mögliches Skelett für die Bearbeitung dieser Aufgabe, für das notwendige Fleisch auf den Knochen sorgst Du:
  1. Nullstelle berechnen (ist von a abhängig)
  2. ableiten
  3. Steigung von in der Nullstelle bestimmen (ist von a abhängig)
  4. Gleichung der Tangente in der Nullstelle aufstellen
  5. Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse bestimmen
  6. Flächengröße bestimmen (ist von a abhängig)
  7. Extremwert der Fläche bestimmen (Variable ist jetzt a)


Anhand der Skizze kannst Du Dir vorstellen, wie die Fläche aussieht:
[attach]40235[/attach]
ganznormal99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Hi, ich bins nochmal, vielen Dank schonmal für deine Liste, aber ich glaube, ich hänge immer noch fest verwirrt

Die Nullstelle, abhängig von a ist 4*a+3. Wenn man 1 einsetzt, kriegt man 7, für 2 11, für 3 15 usw.

Die Ableitung ist, auch abhängig von a, -(40a)/(x-3)^2 und wenn man nach x einsetzt (man leitet ja eh nur die Nullstelle ab, hat man auch die Steigung: -(40a)/16a^2

Der Schnittpunkt mit der y-Achse wäre dann Steigung*Nullstelle.

Wenn ich das dann in die Formel zur Flächenberechnung einsetzt, komme ich auf die Funktion

F(x)

Ich hoffe mal, das stimmt soweit...
Aber wenn ich davon den Extremwert berechne, komme ich auf a = -3/4...

Selbst wenn das stimmt, weiss ich irgendwie nicht, wie ich von da aus weiterrechnen soll.
Könntest du mir da noch mal auf die Sprünge helfen ?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Hallo,

die Nullstelle ist richtig.
die 1. Ableitung ist auch richtig.
die Steigung in der Nullstelle ist auch richtig, wobei man den Term noch kürzen kann.
der y-A-A ist fast richtig: Du musst hier die Richtung berücksichtigen. Da Du von der Nullstelle ausgehst, rechnest Du quasi "rückwärts", d.h., der Term wird positiv.
Freude Freude Freude

Bei der Flächenberechnung hast Du Dir wahrscheinlich das Leben selbst schwer gemacht:



... und jetzt die extremale Flächengröße bestimmen.
ganznormal99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Super, danke!!

Eine Frage hab ich aber noch:

Ich hab 2 Extrempunkte raus: (siehe Anhang)

Der Hochpunkt, der ja eigentlich die größtmögliche Fläche markiert, hat den Funktionswert A=0.

Der Tiefpunkt hat A=60.

Da die größtmögliche Fläche schlecht null sein kann, nehme ich nun den Tiefpunkt??
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Guten Morgen und ein glückliches, erfolgreiches neues Jahr!

In der Aufgabenstellung ist nie die Rede von "größtmöglicher Fläche" gewesen, sondern da steht, dass Du ein Extremum berechnen sollst. Und Extrema sind nun mal Maximum oder Minimum.

Mach Dir einfach mal klar, wie sich der Graph der Funktion f verändert, wenn a gegen null geht (was passiert mit der Tangentensteigung, wie ändert sich die Form des rechtwinkligen Dreiecks?) und was passiert, wenn a immer größer wird. Du merkst sehr schnell, dass das Extremum ein Minimum sein muss.
 
 
lordgammadon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochen-rationale Funktion mit Extremalproblem
Da stimmt doch etwas in der Gleichung nicht, oder täusche ich mich. Wo kommt das Quadrat her verwirrt

Und wo ist denn bei der Funktion da ein Extrempunkt wenn sie gegen 0 richtung unendlich strebt?
Irgendwie blicke ich da nicht ganz durch
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