Beweis zum limes superior

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Wynne Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum limes superior
Edit (mY+): Hilfeersuchen entfernt. Bitte von solchen abzusehen.

Ich habe zwei beschränkte reelle Folgen , mit

Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass lim inf lim sup.

Ich weiß, dass lim sup lim inf

und lim inf

Mir ist auch klar, dass ich das größte suche, da

Nur wie zeige ich das schlüssig von der Definition des lim inf ausgehend?

_______________________________________________________________

darf ich das so machen:

edit Mathema: Push-Beitrag gelöscht und zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. LG
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nur wie zeige ich das schlüssig von der Definition des lim inf ausgehend?


Da muss man denn wohl mit der Epsilon-Umgebung ran. Ist dir folgendes bekannt bzw. darf verwendet werden?

, für

edit: Da bin ich anscheinend zu spät, da du nun wohl im Matheplaneten arbeitest. Dann wünsche ich dir dort viel Erfolg!

Wink
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir bekannt, darf also verwendet werden, aber wie hilft mir das?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Sei , beliebig.

Die Folge besitzt den Grenzwert , also:





Nun wollen wir die Definition ins Spiel bringen.



Nun lasse gegen unendlich gehen. Den Rest schaffst du dann sicherlich alleine. Guten Rutsch!

Wink

edit: Nach Hinweis von IfindU (vielen Dank!) gilt ist bei diesem Ansatz sich noch zu überlegen, was passiert wenn positiv oder negativ wird. Das kannst du, sofern du diesen Ansatz verfolgen möchtest, einmal machen. Ich habe bei meinen Abschätzungen vorausgesetzt, dass nicht negativ wird.
Wynne Auf diesen Beitrag antworten »

wenn negativ wird, dann drehen sich ja alle um also



das heißt dann: Ich brauche zwei Ungleichungen oder gibt es da noch einen Trick, den ich nicht kenne?
Wynne Auf diesen Beitrag antworten »

und muss ich dann nicht auch das einschränken mit
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wynne,

der zweite Fall hat sich doch als nicht ganz einfach herausgestellt. Das Problem ist, dass als Folge kein gemeinsames Vorzeichen haben muss. Ich habe ein wenig mit IfindU getüftelt und er hatte folgende gute Idee:

Für diesen Fall definieren wir uns ein . Nun ist unser und unser Beweis kann analog geführt werden. Es ergibt sich also:



Das muss jetzt nur noch zu Ende gebracht werden...
Wynne Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure großartige Hilfe Gott

das kann ich ja ganz links und ganz rechts, da es eine konstante ist einfach aus dem rausziehen

nur wie gehe ich beim vor. Darf ich das auch einfach rausziehen, oder muss ich da noch etwas beachten?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Da konvergiert, und eine feste Zahl ist, ist es im Limes dann .

Somit ergibt sich:

Wynne Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich das wirklich einfach so rausziehen, nur wenn ich n gegen unendlich gehen lasse, oder muss ich da noch irgendetwas beachten?

Dann kürze ich nur noch die
also



und dann lass ich noch epsilon gegen Null gehen womit ich fertig bin
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - so war es gedacht. Der Begriff "Kürzen" passt wohl nicht ganz, wir addieren auf beiden Seiten. Die Konvergenz im Mittelteil müsste dann noch begründet werden, z.B durch die Wahl einer Teilfolge, die das Infimum realisiert.

Hoffe das passt denn so - vielen Dank an dieser Stelle noch mal an IfindU.

Ist das eine Aufgabe aus einer Übung? Dann werdet ihr diese ja sicherlich noch mal besprechen. Wenn du magst, kannst du ja dann noch mal berichten, wie ihr sie gelöst habt. Würde mich interessieren.

Wink
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich schon so oft erwähnt werde, dann noch ein paar Kommentare meinerseits. Der Beweis benötigt leider, dass . D.h. muss noch separat betrachtet werden. [Edit: Man, da steht ja die sind beschränkt -- dann vergiss den Einwand.]

Zu der Konvergenz im mittleren Teil: Eine ähnliche Beweisidee wie die von Mathema ganz zu Anfang mit dem Epsilon zeigt auch folgende Aussage.
Zitat:
Sei eine beschränkte Folge und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann gilt sowohl und


Nach geeigneter Wahl von und bekommt man die Konvergenz im mittleren Term.

Als weitere Beweisidee als Verallgemeinerung von Mathemas Ansatz:
für und
für .

Diese kann man zusammenfassen zu
für alle .

Das sieht zwar etwas schrecklich aus, aber wenn man sich geistig einmal setzt, so staende dort
, also genau das was man will. Von hier aus sollte es also ohne größere Probleme durchgehen (wenigstens sehe ich keine.)
Wynne Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auch an dich IfindU Wink
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