Beweis zum limes superior |
30.12.2015, 10:21 | Wynne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis zum limes superior Ich habe zwei beschränkte reelle Folgen , mit Meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass lim inf lim sup. Ich weiß, dass lim sup lim inf und lim inf Mir ist auch klar, dass ich das größte suche, da Nur wie zeige ich das schlüssig von der Definition des lim inf ausgehend? _______________________________________________________________ darf ich das so machen: edit Mathema: Push-Beitrag gelöscht und zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. LG |
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31.12.2015, 14:38 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da muss man denn wohl mit der Epsilon-Umgebung ran. Ist dir folgendes bekannt bzw. darf verwendet werden? , für edit: Da bin ich anscheinend zu spät, da du nun wohl im Matheplaneten arbeitest. Dann wünsche ich dir dort viel Erfolg! |
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31.12.2015, 15:20 | myrmos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist mir bekannt, darf also verwendet werden, aber wie hilft mir das? |
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31.12.2015, 16:23 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei , beliebig. Die Folge besitzt den Grenzwert , also: Nun wollen wir die Definition ins Spiel bringen. Nun lasse gegen unendlich gehen. Den Rest schaffst du dann sicherlich alleine. Guten Rutsch! edit: Nach Hinweis von IfindU (vielen Dank!) gilt ist bei diesem Ansatz sich noch zu überlegen, was passiert wenn positiv oder negativ wird. Das kannst du, sofern du diesen Ansatz verfolgen möchtest, einmal machen. Ich habe bei meinen Abschätzungen vorausgesetzt, dass nicht negativ wird. |
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01.01.2016, 09:30 | Wynne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn negativ wird, dann drehen sich ja alle um also das heißt dann: Ich brauche zwei Ungleichungen oder gibt es da noch einen Trick, den ich nicht kenne? |
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01.01.2016, 12:18 | Wynne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und muss ich dann nicht auch das einschränken mit |
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01.01.2016, 20:03 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Wynne, der zweite Fall hat sich doch als nicht ganz einfach herausgestellt. Das Problem ist, dass als Folge kein gemeinsames Vorzeichen haben muss. Ich habe ein wenig mit IfindU getüftelt und er hatte folgende gute Idee: Für diesen Fall definieren wir uns ein . Nun ist unser und unser Beweis kann analog geführt werden. Es ergibt sich also: Das muss jetzt nur noch zu Ende gebracht werden... |
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01.01.2016, 20:42 | Wynne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für eure großartige Hilfe das kann ich ja ganz links und ganz rechts, da es eine konstante ist einfach aus dem rausziehen nur wie gehe ich beim vor. Darf ich das auch einfach rausziehen, oder muss ich da noch etwas beachten? |
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01.01.2016, 20:50 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da konvergiert, und eine feste Zahl ist, ist es im Limes dann . Somit ergibt sich: |
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01.01.2016, 21:05 | Wynne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
darf ich das wirklich einfach so rausziehen, nur wenn ich n gegen unendlich gehen lasse, oder muss ich da noch irgendetwas beachten? Dann kürze ich nur noch die also und dann lass ich noch epsilon gegen Null gehen womit ich fertig bin |
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01.01.2016, 22:30 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja - so war es gedacht. Der Begriff "Kürzen" passt wohl nicht ganz, wir addieren auf beiden Seiten. Die Konvergenz im Mittelteil müsste dann noch begründet werden, z.B durch die Wahl einer Teilfolge, die das Infimum realisiert. Hoffe das passt denn so - vielen Dank an dieser Stelle noch mal an IfindU. Ist das eine Aufgabe aus einer Übung? Dann werdet ihr diese ja sicherlich noch mal besprechen. Wenn du magst, kannst du ja dann noch mal berichten, wie ihr sie gelöst habt. Würde mich interessieren. |
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02.01.2016, 09:55 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich schon so oft erwähnt werde, dann noch ein paar Kommentare meinerseits. Der Beweis benötigt leider, dass . D.h. muss noch separat betrachtet werden. [Edit: Man, da steht ja die sind beschränkt -- dann vergiss den Einwand.] Zu der Konvergenz im mittleren Teil: Eine ähnliche Beweisidee wie die von Mathema ganz zu Anfang mit dem Epsilon zeigt auch folgende Aussage.
Nach geeigneter Wahl von und bekommt man die Konvergenz im mittleren Term. Als weitere Beweisidee als Verallgemeinerung von Mathemas Ansatz: für und für . Diese kann man zusammenfassen zu für alle . Das sieht zwar etwas schrecklich aus, aber wenn man sich geistig einmal setzt, so staende dort , also genau das was man will. Von hier aus sollte es also ohne größere Probleme durchgehen (wenigstens sehe ich keine.) |
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03.01.2016, 08:31 | Wynne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke auch an dich IfindU |
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