Skalarprodukt aus zwei Vektoren

30.12.2015, 11:38

DerApfel

Skalarprodukt aus zwei Vektoren

Bestimmen Sie das Skalarprodukt aus $\begin{eqnarray*} \vec{a}=2\vec{p}-3\vec{q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=4\vec{p}-\vec{q} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren sind.

Also:

$\begin{eqnarray*} (2\vec{p}-3\vec{q}) \circ (4\vec{p}-\vec{q}) 6\vec{p}^{2}-2\vec{p}\vec{q}-12\vec{p}\vec{q}+3\vec{q}^{2} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \vec{p}\circ\vec{q}=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 6\vec{p}^{2}+3\vec{q}^{2} \end{eqnarray*}$

Geht das so überhaupt?

30.12.2015, 11:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skalarprodukt aus zwei Vektoren
Ja, für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz. Jetzt mußt du noch zu Ende rechnen und bedenken, daß 2*4 = 8 ist. smile

EDIT: Außerdem kennst du ja auch die Längen der Vektoren p und q.

30.12.2015, 11:44

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups

also:

$\begin{eqnarray*} 8\vec{p}^{2}+3\vec{q}^{2} \end{eqnarray*}$

aber was genau meinst du mit zu ende rechnen? Wie gehts da weiter?

Edit: Ja, die Länge (Betrag) ist 1. Aber wie hilft mir das weiter verwirrt

30.12.2015, 11:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beziehung $\begin{eqnarray*} |v|^2 = \vec v \cdot \vec v \end{eqnarray*}$ sollte eigentlich bekannt sein. Augenzwinkern

30.12.2015, 11:49

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, kann sein ^^

also $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ ?

30.12.2015, 13:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt.

30.12.2015, 15:30

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ohne den Hinweis wäre ich verzweifelt ^^

Dann hab ich leider noch ein Problem mit der nächsten Aufgabe:

"Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind". Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\circ\vec{a}=2, \vec{b}\circ\vec{b}=3, \vec{c}\circ\vec{c}=2,\vec{b}\circ\vec{c}=2, \vec{a}\circ\vec{c}=1, \vec{a}\bot\vec{b},\sphericalangle(\vec{a},\vec{c}) = 60° \end{eqnarray*}$

Ich hab mir das hier gedacht:

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\frac{2}{\vec{b}}, \vec{c}= \frac{1}{\vec{a}}, \vec{a}\circ\vec{b}=0 \end{eqnarray*}$
daher wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{2\vec{a}}{\vec{b}}=1 \to 2\vec{a} = \vec{b} \neq \vec{a}\circ\vec{b}=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

30.12.2015, 15:49

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst doch nicht durch Vektoren dividieren böse

30.12.2015, 15:51

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir schon gedacht, aber mir fällt auch sonst nichts ein unglücklich

30.12.2015, 16:18

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

benutze doch die Definition der linearen Unabhängigkeit und zeige, dass die Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot\vec{a}+...=0 \end{eqnarray*}$

wäre eine einfache Möglichkeit

edit: du darfst zwar mit Vektoren nicht dividieren aber (skalar) multiplizieren Augenzwinkern

30.12.2015, 20:12

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

also:

$\begin{eqnarray*} \lambda\vec{a}+\mu\vec{b}+\tau\vec{c}=0 \end{eqnarray*}$

Aber wie genau gehe ich da weiter vor?

31.12.2015, 00:10

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt multiplizierst du jeweils skalar mit einem der Vektoren - siehe oben! - , also

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }\lambda\cdot a^2+\mu\cdot \vec{a}\cdot\vec{b}+\tau\cdot\vec{a}\cdot\vec{c}=0 \end{eqnarray*}$
....

das ergibt mit den bekannten Werten ein lineares homogenes GLS für die 3 Parameter, dessen Determinante (hoffentlich) $\begin{eqnarray*} D\neq 0 \end{eqnarray*}$ ,
woraus die Behauptung folgt

31.12.2015, 00:39

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

So?

$\begin{eqnarray*} (I): \lambda\vec{a}^{2}+\mu\vec{b}\vec{a}+\tau\vec{c}\vec{a} \to 2\lambda + 0\mu + 1\tau (II): \lambda\vec{a}\vec{b}+\mu\vec{b}^{2}+\tau\vec{c}\vec{b} \to 0\lambda + 3\mu + 2\tau (III): \lambda\vec{a}\vec{c}+\mu\vec{b}\vec{c}+\tau\vec{c}^{2} \to \lambda + 2\mu + 2\tau \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

31.12.2015, 00:56

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DerApfel
So?

$\begin{eqnarray*} (I): \lambda\vec{a}^{2}+\mu\vec{b}\vec{a}+\tau\vec{c}\vec{a} \to 2\lambda + 0\mu + 1\tau =0 (II): \lambda\vec{a}\vec{b}+\mu\vec{b}^{2}+\tau\vec{c}\vec{b} \to 0\lambda + 3\mu + 2\tau=0 (III): \lambda\vec{a}\vec{c}+\mu\vec{b}\vec{c}+\tau\vec{c}^{2} \to \lambda + 2\mu + 2\tau=0 \end{eqnarray*}$

?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\0 & 3 & 2 \\1 &2 & 2 \end{vmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$

(die Werte habe ich nicht mehr überprüft)

31.12.2015, 00:58

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke und gute Nacht!

Neue Frage »

Antworten »

Skalarprodukt aus zwei Vektoren

Verwandte Themen