Konvergenzkreis zweier Reihen

30.12.2015, 12:27

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenzkreis zweier Reihen

Hallo,

ich habe hier zwei Aufgaben und möchte wissen, ob meine Ansätze stimmen.

Es soll jeweils der Konvergenzkreis berechnet werden:

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})x^{n} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich berechnet:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{1} \leq \sqrt[k]{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k} } \leq \sqrt[k]{k} \end{eqnarray*}$ und erhalte damit den Limes = 1.
Der Konvergenzradius beträgt damit 1/1 = 1.

Richtig?

30.12.2015, 14:47

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig.
Man könnte es auch so machen: Klick. smile

smile

30.12.2015, 14:59

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine interessante Zusatzfrage wäre übrigens, ob die Reihe auch für $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. (Auch wenn das nicht gefordert ist, allerdings folgt in dem Fall aus der Information alleine bereits der Konvergenzradius.)

30.12.2015, 15:22

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

allerdings folgt in dem Fall aus der Information alleine bereits der Konvergenzradius.

Wie das? Für beide Werte liegt hier doch Divergenz vor verwirrt

verwirrt

30.12.2015, 15:27

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

... Ich wusste doch ich sollte erst den Kaffee trinken und dann was schreiben .. Entschuldigt!

30.12.2015, 20:14

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.
Nun eine allgemeine Frage:
Beudetet das in dieser Aufgabenstellung, dass die Potenzreihe um 0 innerhalb des Kreises mit Radius 1 konvergiert?

Anzeige

01.01.2016, 22:21

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Mittelpunkt des Konvergenzkreises ist immer der Entwicklungspunkt der Potenzreihe; hier also 0.

02.01.2016, 11:57

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank dafür.
Nun würde ich euch gerne die nöchste Aufgabe zeigen.
Auch hier ist der KOnvergenzkreis zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(4+(-1)^{n})^{3n}} \end{eqnarray*}$

Ich bringe es also in die Form
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4+(-1)^{n})^{3n}}\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$
und ab hier weiß ich nicht weiter.
Ich muss doch $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ da stehen haben, damit ich die Kriterien anwenden kann, oder?

Bringt es mich weiter, wenn ich das ganz umforme zu
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{(4+(-1)^{n})^{\frac{3}{2}n}}\cdot x^{n})^{2} \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2016, 11:54

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde eher $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ substituieren. Dann hast du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4+(-1)^{n})^{3n}}\cdot y^n \end{eqnarray*}$ da stehen, also die bekannte Form einer Potenzreihe. Davon kannst du jetzt den Konvergenzradius berechnen und dir dann überlegen, wie man das auf das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ übertragen kann.

03.01.2016, 13:17

Der forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich y=x^2 setze, erhalte ich nach Cauchy-hadamard: 5^3 als limsup.
Nun würde ich daraus intuitiv die Wurzel ziehen?

03.01.2016, 13:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Der forbin
Wenn ich y=x^2 setze, erhalte ich nach Cauchy-hadamard: 5^3 als limsup.

Du meinst, es ist $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\left(4+(-1)^n\right)^{3n}}} = \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{\left(4+(-1)^n\right)^3} \stackrel{?}{=} \frac{1}{5^3} \end{align*}$ ?

Denk nochmal genauer nach.

03.01.2016, 15:13

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich hab den Fehler gefunden:

$\begin{eqnarray*} L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{(4+(-1)^{n})^{3n}}} = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{(4+(-1)^{n})^{3}} \end{eqnarray*}$

Für gerades n: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} = \frac{1}{5^{3}} \end{eqnarray*}$
Fur ungerades n: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} = \frac{1}{3^{3}} \end{eqnarray*}$

Also ist der $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} = \frac{1}{3^{3}} \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5^{3}} \end{eqnarray*}$ wäre der liminf, richtig?)

Und damit ist $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{L} = \frac{1}{3^{3}} \end{eqnarray*}$

Richtig?

03.01.2016, 15:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von forbin
Und damit ist $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{L} = \frac{1}{3^{3}} \end{eqnarray*}$

Kehrwertbildung vergessen ... $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{L} = 3^3 \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Und damit dann noch das anschließen:

Zitat:

Original von Der forbin
Nun würde ich daraus intuitiv die Wurzel ziehen?

03.01.2016, 15:36

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Schritt hatte ich ausgelassen.

Also der limsup der Folge nach Substituion ist $\begin{eqnarray*} L = \frac{1}{3^{3}} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{L} = 3^{3} \end{eqnarray*}$ .

Um nun auf die ursprüngliche Reihe zu gelangen, ziehe ich das raus die Wurzel.
Also ist der Konvergenzkreis der Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n}}{(4+(-1)^{n})^{3n}} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} R = 3^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Ok so?

03.01.2016, 16:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

03.01.2016, 18:36

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank dafür.

Aber wie ist zu argumentieren (formell), dass ich die Wurzel ziehen muss, wenn ich resubstituiere?

03.01.2016, 18:46

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |y|<3^3 \end{eqnarray*}$ konvergiert; das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} |x^2|=|x|^2<3^3 \end{eqnarray*}$ .

Du musst also alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} |x|^2<3^3 \end{eqnarray*}$ gilt. Und bei dieser Ungleichung kannst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen: $\begin{eqnarray*} |x|<3^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ .

(Natürlich fehlt noch die Betrachtung der Randwerte, d.h. ob die Reihe für $\begin{eqnarray*} |y|=3^3 \end{eqnarray*}$ konvergiert.)

03.01.2016, 23:09

forbin

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich

Hammer

Vielen Dank für all eure hilfen!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »