Darstellungsmatrix

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30.12.2015, 11:27	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix Ich habe den $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum der Polynomfunktionen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}[x]_n := \{x\mapsto p(x) = \sum^n_{j=0}a_jx^j\} \end{eqnarray}$ mit der Basis $\begin{eqnarray} B = (b_0, ..., b_n) \end{eqnarray}$ der Monome $\begin{eqnarray} b_j(x) := x^j \end{eqnarray}$ . Weiter hab ich paarweise verschiedene $\begin{eqnarray} C_1,...C_m \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Ich soll die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} \zeta_B^E(f) \end{eqnarray}$ bzgl. der Basis B und der Standardbasis E von $\begin{eqnarray} K^m \end{eqnarray}$ bestimmen. $\begin{eqnarray} f:= \mathbb{R}[x]_n \rightarrow K^m \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(p(x))(i) := p(C_i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i = 1,...,m \end{eqnarray}$ Meine Idee wäre es, dass $\begin{eqnarray} \zeta_B^E(f)=\begin{pmatrix} a_0 & ... & a_j \\ : & ... & :\\ a_0 & ... & a_j \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit den a's aus p(x), nur schaffe ich es nicht das zu beweisen
30.12.2015, 11:56	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e_i \in E, d_{ij} \in \zeta_B^E(f) \end{eqnarray}$ Oder ist es, da $\begin{eqnarray} f(b_j(C_i)) = f(C_i^j)=\sum_{i=1}^me_id_{ij} = \sum_{i=1}^me_ip(C_i^j) \end{eqnarray}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} d_{ij} = p(C_i^j) \end{eqnarray}$ aber wozu ist dann das paarweise verschieden der $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ ?
30.12.2015, 12:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne die Bilder der Basiselemente $\begin{eqnarray} 1,x,...,x^n \end{eqnarray}$ unter der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und schreibe sie in die Spalten der Darstellungsmatrix.
30.12.2015, 12:24	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p(1) & ... & p(C_1^n) \\ p(1) & ... & : \\ p(1) & ... & p(C_m^n) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
30.12.2015, 13:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & C_1 & ... & C_1^n \\ . & . & ... & . \\ 1 & C_m & ... & C_m^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.12.2015, 13:48	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich mir auch schon gedacht, nur warum? Die Darstellungsmatrix ist ja in dem Fall über $\begin{eqnarray} f(b_j(x)) = \sum_{i=1}^m e_id_{ij} \end{eqnarray}$ definer, wobei $\begin{eqnarray} d_{ij}\in \zeta_B^E \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(b_j(x)) = f(x^j) = f(C_i^j) = p(C_i^j) = \sum_{i=1}^m e_id_{ij} \end{eqnarray}$ warum ist das dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} C_1^j \\ ... \\ C_m^j \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p(C_1^j) \\ ... \\ p(C_m^j )\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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30.12.2015, 16:10	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schaffs einfach nicht auf deine Matrix zu kommen. Ich weis nur nicht, wo mein Denkfehler liegt
30.12.2015, 16:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(p(x))(i):=p(C_i), i=1,...,m \end{eqnarray}$ ist die Definition der Werte , die die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an den Stellen $\begin{eqnarray} i=1,...,m \end{eqnarray}$ annimmt. Basisvektor $\begin{eqnarray} j=0\Rightarrow p(x)=x^0=1 \Rightarrow f(p(x))(i):=p(C_i)=1 \; ( i=1,...,m) \end{eqnarray}$ Basisvektor $\begin{eqnarray} j=1\Rightarrow p(x)=x^1=x \Rightarrow f(p(x))(i):=p(C_i)=C_i \; ( i=1,...,m) \end{eqnarray}$ . . . Basisvektor $\begin{eqnarray} j=n\Rightarrow p(x)=x^n=x \Rightarrow f(p(x))(i):=p(C_i)=C_i^n \; ( i=1,...,m) \end{eqnarray}$
30.12.2015, 16:44	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt seh ichs. Die $\begin{eqnarray} b_j(x) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ . Da hab ich in die falsche Richtung gedacht Vielen vielen Dank für deine Hilfe
30.12.2015, 17:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung: Die Bedingung, dass die $\begin{eqnarray} C_j \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind, wird für diese lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und ihre Darstellungsmatrix nicht benötigt. Sind sie nicht paarweise verschieden, ist allerdings die Matrix singulär, also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht bijektiv.

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