Grenzwert von e-Funktion

30.12.2015, 20:43

Schnittlauch23

Grenzwert von e-Funktion

Meine Frage:
Hallo,

könnt ihr mir bei einer alten Klausuraufgabe weiterhelfen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{x^{3} } }{1-e^{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

Kreuzen Sie die richtige Lösung an und begründen Sie ihre Antwort

entweder:
0 oder 2/3 oder 1 oder 1,5 oder unendlich

Danke

Meine Ideen:
Ich denke ich muss da irgendwie mit l`Hospital ran,da es ja ein Ausdruck der Form 0/0 ist, aber da komme ich auf kein richtiges Ergebnis.

Habe es nochmal versucht und bin auf folgende Lösung gekommen

(falls ich richtig abgeleitet habe)

das erste mal abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x*e^{x^{3} } }{2x*e^{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

dann nochmal ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{3*e^{x^{3}} +3x*3x*e^{x^{3} } }{2*e^{x^{2} }+2x*2x*e^{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

dann würde ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

kommen.

Stimmt das ?

2 Beiträge zusammengefasst. Steffen

30.12.2015, 23:14

Helferlein

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Nein, das ist falsch.
Du hast den Zähler falsch abgeleitet. Genauer gesagt ist die Ableitung der inneren Funktion in die Hose gegangen.

31.12.2015, 00:53

Schnittlauch23

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Zitat:

Du hast den Zähler falsch abgeleitet. Genauer gesagt ist die Ableitung der inneren Funktion in die Hose gegangen.

Stimmt also der Nenner? Sehe den Fehler nicht verwirrt

31.12.2015, 02:01

Helferlein

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Der Nenner stimmt eigentlich auch nicht, kann aber so hingebogen werden, wie Du es stehen hast.

Der Zähler lautet $\begin{eqnarray*} z(x)=1-e^{(x^3)} \end{eqnarray*}$ und der Nenner $\begin{eqnarray*} n(x)=1-e^{(x^2)} \end{eqnarray*}$ .
Die innere Funktion des Zählers lautet somit $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ und hat die (innere) Ableitung ...

31.12.2015, 10:48

Schnittlauch23

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klar es muss dann natürlich $\begin{eqnarray*} 3x^{2}*e^{x^{3} } \end{eqnarray*}$ lauten.

Stimmt dann folgender Ansatz

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3x^{2}*e^{x^{3} }}{2x*e^{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{6x*e^{x^{3} }+ 3x^{2}*3x^{2}*e^{x^{3} } }{2*e^{x^{2} }+ 2x *2x*e^{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

und das ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

31.12.2015, 15:45

Helferlein

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Stimmt prinzipiell schon, aber Du brauchst eigentlich kein zweites Mal ableiten.

Es genügt auch die Feststellung, dass $\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}*e^{x^{3} }}{2x*e^{x^{2} } } = \frac 32~x~e^{(x^3-x^2)} \end{eqnarray*}$

31.12.2015, 15:57

Schnittlauch23

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danke

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