Grenzwert Summe

30.12.2015, 22:49

hippo223

Grenzwert Summe

Meine Frage:
Hallo,

wie lässt sich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-n}=\frac19 \end{eqnarray*}$
ist?

Meine Ideen:
Der Zusammenhang ist ja trivial und offensichtlich (0,1+0,01+0,001 ...)

Wie beweise ich es aber?

31.12.2015, 01:03

Adramelec

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Nur so eine Idee:
Du weißt ja, dass die Summenglieder so aussehen :
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+... \end{eqnarray*}$
Nun gut, nun könnte man ja auch sagen, die Summenglieder lassen sich wie folgt generieren:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{10})^{k} \end{eqnarray*}$

Wenn du dir nun q ansiehst, wirst du sehen, dass dies (also 1/10) kleiner ist als 1. Damit hast du eine geometrische Reihe - Den Grenzwert kannst du nun direkt ausrechnen mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q}-1 \end{eqnarray*}$

Joa.. so würd ichs machen, reicht das als Beweis?

31.12.2015, 10:13

hipp223

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Zitat:

Original von Adramelec

Joa.. so würd ichs machen, reicht das als Beweis?

Jawohl, vielen Dank.

31.12.2015, 10:30

Matt Eagle

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RE: Grenzwert Summe
Setze $\begin{eqnarray*} S:=\sum_{n=1}^\infty 10^{-n}. \end{eqnarray*}$

Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} 9\cdot S=10\cdot S - S=1. \end{eqnarray*}$

31.12.2015, 16:42

hippo223

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RE: Grenzwert Summe

Zitat:

Original von Matt Eagle
[...]
Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} 9\cdot S=10\cdot S - S=1. \end{eqnarray*}$

Wie meinst du das? Diese Gleichung verstehe ich, weiß aber nicht, wie ich diese herleiten soll, wenn ich die Summe noch nicht berechnet habe.

$\begin{eqnarray*} 9 \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty} 10^{1-n} - \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} 10^{1-n}-10^{-n} \end{eqnarray*}$
Und weiter?

Ich bitte um einen kleinen Denkanstoß.

04.01.2016, 08:55

klarsoweit

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RE: Grenzwert Summe

Zitat:

Original von hippo223
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} 10^{1-n} - \sum_{n=1}^{\infty} 10^{-n} \end{eqnarray*}$

Bei genauerer Betrachtung werden die Summanden der ersten Reihe bis auf den ersten Summanden von den Summanden der zweiten Reihe aufgrund der Subtraktion kompensiert. Allerdings ist dieser "Umweg" unnötig, wenn man die Formel für die geometrische Reihe kennt. smile

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