Dreiecksungleichung bei Mengen

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31.12.2015, 10:03	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksungleichung bei Mengen Ich habe $\begin{eqnarray} <X,d> \end{eqnarray}$ einen metrischen Raum. $\begin{eqnarray} A,B \subseteq X \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A,B \neq \emptyset \end{eqnarray}$ Der Abstand von $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ ist definert über $\begin{eqnarray} d(A,B) := inf\{d(x,y)\| x\in A, y \in B\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \emptyset \neq A \subseteq X \end{eqnarray}$ ist der Abstand $\begin{eqnarray} d(x,A) := d(\{x\}, A) \end{eqnarray}$ Ich soll zum einen zeigen, dass $\begin{eqnarray} x \in c(A) \Leftrightarrow d(x,A) = 0 \end{eqnarray}$ dass habe ich gezeigt, über ist $\begin{eqnarray} x \in A \Leftrightarrow inf\{d(x,y)\| y \in A\} = d(x,x) =0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x \not\in A \Leftrightarrow x \end{eqnarray}$ ist HP $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} U_{\epsilon}^d(x) \cap A \neq \emptyset \Leftrightarrow d(x, A) = 0 \end{eqnarray}$ Der zweite Teil ist die Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray} d(x,A) \leq d(x,y)+d(y,A) \end{eqnarray}$ und da häng ich, weil sei $\begin{eqnarray} d(x,A) = d(x, z_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d(y,A) = d(x, z_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow d(y,z_2) \leq d(y,z_1) \end{eqnarray}$ Das heißt doch, dass die rechte Seite kleiner ist, als bei der Standardungleichung $\begin{eqnarray} d(x,z_1) \leq d(x,y)+d(y,z_1) \end{eqnarray}$ Wie kann ich dann zeigen ,dass sie doch stimmt, wenn ich die rechte Seite kleiner mache? Vielen Dank im Voraus für eure Antworten __________________________________ Ach ja $\begin{eqnarray} x, y \in X \end{eqnarray}$ __________________________________ Ich habs mit Fallunterscheidung versucht: $\begin{eqnarray} x, y \in A \Rightarrow d(x,A) = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(y,A) = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq 0 \end{eqnarray}$ und damit gilt sie im ersten Fall $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \not\in A\Rightarrow \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(x,A) = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(y,A) \geq 0 \end{eqnarray}$ und damit gilts auch in dem Fall $\begin{eqnarray} x\not\in A y\in A \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(x,A) \geq 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(y,A) = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq 0 \end{eqnarray}$ auf Grund der Definition gilt $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq d(x,A) \end{eqnarray}$ damit ist auch der Fall wahr Nur im letzten komm ich nicht weiter: $\begin{eqnarray} x,y \not\in A\Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(x,A)\geq0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d(y,A)\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(x,y)\geq 0 \end{eqnarray}$ edit Mathema: 3 Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Bitte benutze in Zukunft die edit-Funktion. LG
31.12.2015, 17:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung bei Mengen Für alle a,x,y ist $\begin{eqnarray} d(x,a) \leq d(x,y)+d(y,a) \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du erst links, dann rechts zum Infimum übergehen.
01.01.2016, 10:14	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} \forall a \in A \:, x\in X\:: \inf \{d(x,b)\| b \in A\} = d(x,A) \leq d(x,a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,a) \end{eqnarray}$ Nur eben bei der rechten Seite hänge ich, weil sie ja durch das Infimum kleiner wird Wo ist hier mein Denkfehler?
01.01.2016, 19:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Da URL wohl gerade nicht da ist. Beachte, dass $\begin{eqnarray} d(x,A) - d(x,y) \end{eqnarray}$ eine untere Schranke für $\begin{eqnarray} d(y,a) \end{eqnarray}$ ist. Da das Infimum die größe untere Schranke ist, bekommst du die gewünschte Abschätzung.
01.01.2016, 20:52	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Habs verstanden. Also, da die Dreiecksungleichung für alle $\begin{eqnarray} a\:, x\:, y \end{eqnarray}$ gilt ist $\begin{eqnarray} d(x,a) - d(x,y)\leq d(y,a) \forall a \in A \end{eqnarray}$ Danke nochmal
02.01.2016, 08:04	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgehend davon soll ich jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|d(x,A)-d(y,A)\|\leq d(x,y) \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray} d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y) \end{eqnarray}$ Aber warum das auch für den Betrag gilt. Da hab ich keine Ahnung
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02.01.2016, 09:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke du hast mich falsch verstanden. Das Infimium einer Menge $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ist definiert durch folgende 2 Eigenschaften: $\begin{eqnarray} \inf M \leq m \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \in M \end{eqnarray}$ und falls es $\begin{eqnarray} \underline m \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \underline m \leq m \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m \in M \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \underline m \leq \inf M \end{eqnarray}$ . Das erste sagt das Infimum ist eine untere Schranke für die Menge, die zweite Eigenschaft sagt es ist die größte Zahl mit dieser Eigenschaft. In dem Fall ist $\begin{eqnarray} M = \{ d(x,a) \| a \in A \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \underline m = d(x,A) - d(x,y) \end{eqnarray}$ .
02.01.2016, 09:48	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du nicht: $\begin{eqnarray} M = \{ d(y,a) \| a \in A \} \end{eqnarray}$
02.01.2016, 09:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, genau das meinte ich
02.01.2016, 09:55	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
gut dann hab ichs verstanden. Danke Vielmals Aber wie komme ich jetzt auf das mit dem Betrag?
02.01.2016, 09:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das eine separate Aussage oder willst du es für die Ungleichung von eben zeigen?
02.01.2016, 10:01	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein Zusatzpunkt zu der eben gezeigten Aussage also $\begin{eqnarray} d(x,A) \leq d(x,y)+d(y,A) \end{eqnarray}$
02.01.2016, 10:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann ist das recht leicht. Die Idee ist die gleiche wie bei der umgedrehten Dreiecksungleichung. Wenn du $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ einmal tauscht, bekommst du links die andere benötigte Ungleichung. Als Basis dafür eine Definition/Eigenschaft des Betrages, nämlich $\begin{eqnarray} \| m \| = \max \{ m, - m \} \end{eqnarray}$ .
02.01.2016, 10:12	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh Also: $\begin{eqnarray} d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d(y,A) \leq d(y,x) + d(x,A) \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} d(x,y) = d(y,x) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} d(x,A) - d(y,A)\leq d(x,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d(y,A) - d(x,A)\leq d(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|d(x,A) - d(y,A)\|\leq d(x,y) \end{eqnarray}$ Danke nochmal
02.01.2016, 10:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön

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