Komplexe Zahl

31.12.2015, 10:28

Alex13

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Komplexe Zahl

Liebe Mathe-Community,

ich habe hier eine Übung bei der ich schon die Aufgabenstellung nicht so richtig verstehe. Würde mich über etwas "Starthilfe" freuen.

Sei C= $\begin{eqnarray*} (\mathbb{C},+,*) \end{eqnarray*}$ der Körper der komplexen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Überprüfe ob die folgende Menge eine Gruppe ist:
$\begin{eqnarray*} M_1 = \{a + b\sqrt[3]{6} + c\sqrt[3]{6^2} | a,b,c \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe an dieser Stelle nicht wie die Elemente von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von C sein können. Denn die Elemente im Körper C sind ja von der Form (a + bi). Aus meinem Verständnis müssten die Elemente von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ die Form (a + b + c) haben. Aber das passt ja gar nicht zu C.

Viele Grüße

Alex

31.12.2015, 12:01

Elvis

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$\begin{eqnarray*} M_1\subset \mathbb R\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$
Das kann nur eine additive Gruppe sein, weil die Division durch 0 nicht möglich ist. Zusatzfrage: Ist $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ein Ring ?

31.12.2015, 12:02

Dopap

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müssen die Elemente von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ einen Imaginärteil haben ?

02.01.2016, 10:30

Alex13

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Danke für die Hilfe. Mal sehen ob ich die Aufgabe damit lösen kann.

02.01.2016, 10:52

Alex13

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Aus meiner Sicht gilt für $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} M_1 \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kann doch jeden Wert aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ annehmen, oder?

02.01.2016, 11:04

Alex13

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Wie überprüft man bei einer solchen Aufgabe eigentlich das Assoziativgesetz? Mein erster Ansatz wäre hier mal a * (b * c) = (a * b) * c aufzuschreiben. Aber bei einer solchen Aufgabenstellung wäre das ja sehr viel Schreibarbeit. Gibt es da nicht einen eleganteren Weg?

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02.01.2016, 12:33

URL

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Man beruft sich auf die bekannten Eigenschaften der reellen Zahlen, insbesondere die Gültigkeit des Assoziativgesetzes.

02.01.2016, 18:00

Elvis

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Zitat:

Original von Alex13
Aus meiner Sicht gilt für $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} M_1 \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kann doch jeden Wert aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ annehmen, oder?

$\begin{eqnarray*} M_1 \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ stimmt, das habe ich ja auch schon gesagt. Das heißt, dass jede Zahl in $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ reell ist. Die Umkehrung, $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kann jeden reellen Wert annehmen, ist falsch.

Außerdem hatte ich schon gesagt, dass und warum $\begin{eqnarray*} (M_1,*) \end{eqnarray*}$ keine Gruppe sein kann.

03.01.2016, 10:51

Alex13

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Hi,

vielen Dank für eure Hilfe. Ich bin auf folgende Ergebnisse gekommen:
- $\begin{eqnarray*} (M_1,+) \end{eqnarray*}$ ist eine kommutative Gruppe
- $\begin{eqnarray*} (M_1,*) \end{eqnarray*}$ ist keine Gruppe denn es existiert nicht zu jedem Element ein persönliches Inverses (z.B. zu 0)
- $\begin{eqnarray*} (M_1,*) \end{eqnarray*}$ ist aber Abgeschlossen, Assoziativ und besitzt ein neutrales Element (1). Daher handelt es sich um einen Monoid.
- Damit bildet $\begin{eqnarray*} (M_1,+,*) \end{eqnarray*}$ sogar ein Ring mit 1.
- $\begin{eqnarray*} (M_1,+,*) \end{eqnarray*}$ ist aber kein Körper da $\begin{eqnarray*} (M_1,*) \end{eqnarray*}$ keine Gruppe ist.

Viele Grüße

Alex

03.01.2016, 11:28

Elvis

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Das letzte kann man so nicht stehen lassen.
Ein Körper ist eine Struktur $\begin{eqnarray*} (K,+,*) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (K,+) \end{eqnarray*}$ abelsche Gruppe mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (K\backslash \{0\},*) \end{eqnarray*}$ Gruppe mit neutralem Element $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , und es gelten die Distributivgesetze. Es gibt keinen Körper, in dem $\begin{eqnarray*} (K,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist, denn es ist stets $\begin{eqnarray*} \forall a\in K:0*a=(0+0)*a=0*a+0*a\Rightarrow \forall a\in K:0*a=0\Rightarrow \not \exists 0^{-1}\in K:0*0^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ .

03.01.2016, 11:49

Alex13

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Das hatte ich übersehen.
Danke für den Hinweis und die Erklärungen zu der Aufgabe.

03.01.2016, 12:46

Elvis

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Es bleibt die Frage offen, ob $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ein Körper ist ... oder nicht ...

04.01.2016, 09:52

Alex13

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Damit $\begin{eqnarray*} (M_1,+,*) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist muss folgendes gelten:
1 $\begin{eqnarray*} (M_1,+) \end{eqnarray*}$ ist eine kommutative Gruppe
2 $\begin{eqnarray*} (M_1/0,*) \end{eqnarray*}$ ist eine kommutative Gruppe
3 Es gilt das Distributivgesetz

Zu 1: $\begin{eqnarray*} (M_1,+) \end{eqnarray*}$ ist eine kommutative Gruppe
Zu 2: $\begin{eqnarray*} (M_1/0,*) \end{eqnarray*}$ :
- Die Menge ist abgeschlossen.
- Da es sich um eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ handelt gilt für die Menge auch das Assoziativgesetz.
- Das neutrale Element der Menge ist die 1. Denn es gilt $\begin{eqnarray*} \{\forall a \in (M_1/0,*) | a * 1 = a = 1 * a\} \end{eqnarray*}$
- Es existiert allerdings nicht zu jedem Element ein persönliches Inverses. Daher handelt es sich bei der Menge nur um einen Monoid.
3 Wurde nicht geprüft da Bedingung 2 schon nicht erfüllt.

Damit handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} (M_1,+,*) \end{eqnarray*}$ nicht um einen Körper.

04.01.2016, 11:23

Elvis

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Für welches Element gibt es z.B. kein inverses Element ?

04.01.2016, 11:44

Alex13

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Ok, das war nicht korrekt. Denn jedes Element aus $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ist auch ein Element der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und muss (da die Null nicht enthalten ist) auch ein Inverses Element besitzen. Damit ist $\begin{eqnarray*} (M_1/0,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} (M_1,+,*) \end{eqnarray*}$ ein Körper. Das Distributivgesetz gilt an dieser Stelle da die Elemente von $\begin{eqnarray*} (M_1,+,*) \end{eqnarray*}$ auch Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind.

04.01.2016, 14:01

Elvis

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Nein, meine Frage war konstruktiv gemeint. Gib ein Element aus $\begin{eqnarray*} M_1\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ an, das in $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kein multiplikativ inverses Element hat. Damit wäre bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kein Körper ist.

04.01.2016, 14:53

Alex13

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Ich habe zum Beispiel für das Element 2 kein Inverses gefunden.

04.01.2016, 18:21

Elvis

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Nicht gefunden ist kein Beweis dafür, dass es keines gibt. Warum genau ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \notin M_1 \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2016, 10:28

Alex13

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Ich habe eine Idee aber so richtig sicher bin ich nicht. Also:
Die Elemente aus $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ sind ja auch Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}/0,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe bildet muss also jedes Element ein persönliches Inverses besitzen. Allerdings kann es in der Menge $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ auch Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ geben. Das geschieht z.B. dann wenn b = 0 und c = 0 und a > 1 ist. Und von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/0,*) \end{eqnarray*}$ wissen wir, dass es keine Gruppe bildet da die Elemente keine inversen haben. Damit ist klar, dass nicht jedes Element ein persönliches Inverses haben kann.

06.01.2016, 11:44

Elvis

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Nein, ist nicht klar. Es könnte ja auch sein, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 =344564556456546345451-140678998450915077585\sqrt 6+4534545663456345\sqrt{6^2} \end{eqnarray*}$ ist . Mit 0,322... liegt es jedenfalls nicht allzu weit daneben, und die ganzen Zahlen a,b,c können noch sehr viel größer werden.

06.01.2016, 11:59

Alex13

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Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wie ich das Beweisen soll. Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben?

06.01.2016, 18:22

Elvis

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Leider nicht. unglücklich

unglücklich

Ich habe zwar Zahlentheorie studiert, kenne mich daher etwas mit algebraischen Zahlkörpern und algebraischen Funktionenkörpern aus, aber mit Ringen habe ich auch immer wieder Probleme. Vielleicht kommt uns jemand zu Hilfe ...

06.01.2016, 18:53

HAL 9000

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Da ich von Algebra wenig Ahnung habe, würde ich elementar zahlentheoretisch beweisen, dass im Vektorraum $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ über dem Körper $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ die Zahlen

$\begin{align*} 1,\sqrt[3]{6},\sqrt[3]{6^2} \end{align*}$

linear unabhängig sind. D.h., dass aus $\begin{align*} a+b\sqrt[3]{6}+c\sqrt[3]{6^2}=0 \end{align*}$ mit rationalen $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ sofort $\begin{align*} a=b=c=0 \end{align*}$ folgt.

06.01.2016, 21:19

lgrizu

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Man könnte sich einfach mal ein Element anschauen, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{6} \end{eqnarray*}$ . Das liegt mit Sicherheit in M1.

Zu diesem Element gibt es kein multiplikativ inverses, wenn die Koeffizienten a,b,c aus Z sein sollen, das ist leicht zu zeigen mit den Rechenregeln aus IR.

Schwieriger wäre es, wenn die Koeffizienten aus Q stammen, dann erhalten wir einen zumindest Schiefkörper, sagt mir meine Intuition, ich glaube aber nicht viel mehr, habs aber nicht nachgerechnet.

07.01.2016, 11:16

Elvis

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Ich habe hier nachgelesen : https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunktion_(Algebra) und schließe aus der eindeutigen Darstellung für jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\xi)=\mathbb Q(\sqrt[3]6,\sqrt[3]{6^2}) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]6,\sqrt[3]{6^2}) \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt[3]6,\sqrt[3]{6^2}]\subset \mathbb Q(\sqrt[3]6,\sqrt[3]{6^2}) \end{eqnarray*}$ ein Ring aber kein Körper ist.

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