Jacobi-Matrix stetig

31.12.2015, 12:26

StrunzMagi

Jacobi-Matrix stetig

Ich habe eine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \phi: D(\phi) \subset \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar.
Warum ist dann die Jacobimatrix $\begin{eqnarray*} D(f) \end{eqnarray*}$ stetig?

Meine Ideen:
Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist folgt, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar ist. Die partiellen Ableitungen sind die Zeilenvektoren der Jacobi-Matrix.

Wir hatten den Satz: $\begin{eqnarray*} \phi=(\phi_1,..,\phi_n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig wenn alle Komponentenfunktionen $\begin{eqnarray*} \phi_i:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ stetig sind.

Bei $\begin{eqnarray*} D(\phi(x))=\begin{pmatrix} D_1 (\phi_1 (x))&D_2 (\phi_1(x)) & .. &D_n(\phi_1(x))\\\vdots &\ddots & .. &\vdots \\ D_1( \phi_n (x)) & D_2 (\phi_n(x)) & .. & D_n (\phi_n(x)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die i-te Komponentenfunktion durch eine Multiplikation mit den Zeilenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} D_1 (\phi_i(x)) &...&D_n (\phi(x)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beschrieben oder?
Könnt ihr mir da helfen, bin bez. der Themas noch sehr verwirrt...

Liebe Grüße

31.12.2015, 16:45

Che Netzer

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RE: Jacobi-Matrix stetig

Zitat:

Original von StrunzMagi
Warum ist dann die Jacobimatrix $\begin{eqnarray*} D(f) \end{eqnarray*}$ stetig?

D.h. warum sie stetig vom Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt? So habt ihr vermutlich stetige Differenzierbarkeit definiert (wenn nicht; wie dann?).

Wenn du fragst, warum sie bei festgehaltenem Punkt als lineare Abbildung stetig ist: Lineare Abbildungen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sind immer stetig. [habt ihr vermutlich auch mal gezeigt]

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