Frage zu Existenz von Stammfunktionen

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Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Existenz von Stammfunktionen
Hallo.
Mich interessiert, wie ich einer Funktion
f:I->R ansehen kann, ob es eine Funktion F:I->R mit F'(x)=f(x) für alle x aus I gibt, ob also f über I eine Stammfunktion besitzt.
Ich weiß, dass die Existenz einer solchen Funktion F gesichert ist, wenn f auf I stetig ist, man kann sogar eine solche angeben, nämlich zum Beispiel

mit
und ich weiß, dass f keine Stammfunktion besitzen kann, wenn sie keine Zwischenwerteigenschaft hat, wenn es also zu ein c mit gibt, so dass (ich hoffe mal, ich habe das korrekt formuliert, es dürfte ja klar sein, was Zwischenwerteigenschaft heißt).
Gibt es allgemeinere Kriterien, vielleicht sogar eine "genau dann wenn" Beziehung zur Existenz einer Stammfunktion? Kennt hier jemand welche?
Danke im Voraus
Gruß
Philipp
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

verschoben + ne Antwort


Cauchysches Integrabilitätskriterium

Die Funktion f:[a,b] -> R ist genau dann R-integrierbar auf [a,b], wenn es zu jedem ein gibt, so daß bei jeder Wahl der Zwischenvektoren und stets



wenn nur



Das hab ich aus dem heuser, da ich soweit noch nicht vorgedrungen bin kann ich zum Beweis nicht viel sagen.

bei S(f,xi_n) handelt es sich um Riemannfolgen bzw. Riemannsummen
Z ist dabei irgendeine Zerlegung{x_0,x_1 ... x_n} des Intervals [a,b]
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mazze.
Diesen Satz kenne ich (habe den Heuser gelesen, der Satz folgt direkt aus der Formulierung der R-Integrierbarkeit über Netzkonvergenz), für die R-Integrierbarkeit gibt es da auch handlichere Sätze, wie das alles erklärende Lebesgue Integrabilitätskriterium, doch das Problem ist, dass Stammfunktionen und Integrierbarkeit ja erstmal gar nichts miteinander zu tun haben (lediglich bei stetigen Funktionen fallen die Begriffe zusammen, zumindest, wenn I kompakt ist).
So gibt es Funktionen, die integrierbar sind, ohne eine Stammfunktion zu besitzen (nimm' einfach eine Funktion, die genau einen "Sprung" hat, also keine Zwischenwerteigenschaft, sie ist integrierbar aber besitzt, wie ich im Ausgangspost andeutete, keine Stammfunktion) und es gibt Funktionen, die eine Stammfunktion besitzen, ohne integrierbar zu sein (nämlich zum Beispie eine unbeschränkte Ableitung, denn Beschränktheit ist notwendig für Integrierbarkeit).
Es gibt also keinen offensichtlichen Zusammenhang (wenn es denn überhaupt einen gibt), so dass die Frage der Integrierbarkeit bei der Frage nach der Existenz einer Stammfunktion wohl nicht weiter hilft (die im Ausgangspost angegebene Funktion F ist auch nur in den Stetigkeitsstellen von f differenzierbar, also keine Stammfunktion über dem ganzen Intervall).
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt wie gesagt zu den Integralen komm ich erst noch genauer

Hier ein link der auf jeden Fall was zur Existenz von Stammfunktionen sagt (weiter unten, hinreichende Bedingung)

hm ich seh grad es handelt sich dabei um Kurvenintegrale, aber das war das einzige was ich so schnell ergooglen konnte.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Phillip_ER,
Ich hab auch keinen gdw. Beziehung. lediglich ein Indiz dafür das so etwas nicht so trivial ist. Zur Existenz einer Lösung von y'=f(x,y) ist soweit ich weiß der Existenzsatz von Peano( der Stetigkeit von f voraussetzt) der mit den schwächsten Voraussetzungen.
gruß
mathemaduenn
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Existenz von Stammfunktionen
Zitat:
Original von Philipp-ER
Mich interessiert, wie ich einer Funktion f:I->R ansehen kann, ob es eine Funktion F:I->R mit F'(x)=f(x) für alle x aus I gibt, ob also f über I eine Stammfunktion besitzt.


Hallo Philipp.

Du suchst also nach einem Kriterium, das für eine vorgelegte Funktion f angibt, ob sie als Ableitung einer differenzierbaren Funktion F auftritt.
Mit einem Kriterium kann ich leider nicht aufwarten.

Aber mir fällt dazu immerhin ein Beispiel ein, nämlich F(x) = sin(1/x)*x^2, F(0) = 0, z.B. auf dem Intervall I = [-1, 1]. Deren Ableitung ist unstetig, hat aber F als Stammfunktion.

Man müsste also untersuchen, welche Arten von Unstetigkeiten eine Ableitung haben kann, z.B. auch, wie die Unstetigkeitsstellen verteilt sind.

Gruss,
SirJective

PS: Wie schreibst du denn deine Intervalle? Was genau meinst du mit <a,b>?
 
 
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi mathemaduenn.
Daran, die Theorie der Differentialgleichungen anzuwenden, habe ich noch gar nicht gedacht, aber der Ansatz scheint ja auch gleich am Anfang stecken zu bleiben, wenn Stetigkeit tatsächlich die schwächste Voraussetzung ist. Schade.

Hallo SirJective.
Das Standardbeispiel ist mir bekannt, ich muss mal über folgende Frage nachdenken:
Sei F' die Ableitung deines Standardbeispiels.
Ist

in 0 differenzierbar? Kann man also über Integration trotz Unstetigkeit des Integranden in diesem Fall eine Stammfunktion gewinnen? Ist die so definierte Funktion gerade wieder F?
Ich kann es spontan nicht sagen, werde mich aber mal damit beschäftigen.

Zu der Art von Unstetigkeitsstellen: Wie gesagt, die Funktion darf keine "Sprünge" haben, da sonst die Zwischenwerteigenschaft verletzt ist, die jedoch jede Ableitung erfüllt. Oszillation geht ja aber, wie man am Standardbeispiel sieht.

<a,b> bezeichnet für a!=b das kompakte Intervall [min(a,b),max(a,b)], ich habe es nur benutzt, um Fallunterscheidungen zu vermeiden.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER
Daran, die Theorie der Differentialgleichungen anzuwenden, habe ich noch gar nicht gedacht, aber der Ansatz scheint ja auch gleich am Anfang stecken zu bleiben, wenn Stetigkeit tatsächlich die schwächste Voraussetzung ist. Schade.


Aber es ist doch hier Stetigkeit von f gemeint, die zu untersuchende Funktion wäre doch aber y, oder? Korrigiert mich, wenn dies nicht so ist, denn die Überlegung hinter diesem Ansatz verstehe ich noch nicht so [email protected] Warum versuchst du hier mit DGLen ranzugehen, also y' mit y in Beziehung zu setzen. Solch eine Beziehung haben wir doch erstmal gar nicht, oder?

Philipp, kannst du mal erläutern, was du mit der Zwischenwerteigenschaft meinst, bzw. mit der Funktion mit Sprüngen? Unstetige Stammfunktionen kann es doch schon deswegen nicht geben, da die Funktion in diesen Stellen ja nicht differenzierbar sein kann (da aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt). Steckt da jetzt irgendwie deine Zwischenwerteigenschaft drin? Edit: So´n Quatsch, du meintest natürlich, dass die Ableitung bzw. die Funktion selbst Sprungstellen hat :P

Gruß vom Ben

Sorry, dass ich in diesem Post nur Fragen gestellt hab Augenzwinkern aber sowas kann das Thema ja auch voran bringen.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Ben Sisko.
Ich denke, beim Ansatz über DGLen würde man f(x,y) nur als Funktion von x betrachten, nämlich gerade die Funktion, für die man prüfen möchte, ob sie Ableitung einer anderen Funktion ist und dann untersuchen, ob
y'=f(x) eine stetige Lösung hat. Das wäre dann ja eine Stammfunktion, doch der Satz scheint ja jetzt schon vorauszusetzen, dass f stetig ist.

Mit der Zwischenwerteigenschaft meinte ich in der Tat die Funktion selbst, so kann man zum Beispiel ausschließen, dass die charakteristische Funktion von {0} eine Stammfunktion besitzt, da sie ja dann eine Ableitung wäre und Ableitungen wie gesagt nie sprunghafte Unstetigkeiten haben können => Widerspruch.
Dass dagegen oszillierende Unstetigkeiten durchaus auftreten können (diese verletzen ja nicht die Zwischenwerteigenschaft, es wird immernoch jeder Wert zwischen 2 Funktionswerten irgendwo angenommen), zeigt das Standardbeispiel von SirJective.
Der_Knuff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Existenz von Stammfunktionen
Zitat:
Original von SirJective

Aber mir fällt dazu immerhin ein Beispiel ein, nämlich F(x) = sin(1/x)*x^2, F(0) = 0, z.B. auf dem Intervall I = [-1, 1]. Deren Ableitung ist unstetig, hat aber F als Stammfunktion.



Ist das vielleicht dasselbe wenn ich sage, f ist nicht integrierbar hat aber eine Stammfunktion??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Der_Knuff
Ich weiß nicht, was du mit deinem Satz meinst. Ich kann dir nur sagen, dass sehr wohl integrierbar ist, und zwar auf jedem beliebigen Intervall!!

Gruß MSS
Der_Knuff Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab mich wohl nicht klar ausgedrückt, Entschuldigung!

Kann mir vielleicht jemand ne Funktion nennen, die auf einem kompakten Intervall nicht integrierbar ist, aber eine Stammfunktion besitzt??

Also nur ein Beispiel, dass ich üben kan, wie man sowas beweist!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, na klar kann ich das Augenzwinkern
Betrachte die Funktion



Bilde ihre Ableitung und zeige dann, dass selbst auf einem beliebig vorgegebenen Intervall nicht integrierbar ist! hat aber trivialerweise eine Stammfunktion, sie ist ja gerade als eine Ableitung definiert.

Gruß MSS
Der_Knuff Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass f(x) dann =



ist??

Gibt's vielleicht für den Anfang auch ein etwas leichteres Beispiel?? Hilfe
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitung ist richtig, allerdings gilt sie nur für . Genauer gilt:



Ein "leichteres" Beispiel gibt es wohl nicht unbedingt. Das Problem hierbei ist, dass bei "leichteren" Funktionen, die eine Ableitung besitzen, eben diese gerade auch integrierbar ist. Aber nichtsdestotrotz:
Wenn du x von oben gegen 0 gehen lässt, geht . Allerdings kannst du eine Folge , die gegen 0 geht, wählen, sodass



geht! Die Funktion ist also in jeder rechtsseitigen Umgebung des Nullpunkts unbeschränkt. Das heißt, dass sie nicht integrierbar sein kann! Augenzwinkern

Gruß MSS
Elpenor Auf diesen Beitrag antworten »

Zwar keine Antwort auf deine Frage, aber dennoch interessant in diesem Zusammenhang:

Es gilt der folgende Satz:

Eine Funktion ist genau dann eine Stammfunktion, wenn sie absolut stetig ist.

Beweis:


Sei f absolut stetig. Dann gibt es monoton nicht-fallende Funktionen
, so dass
.
Es gilt:
f.ü. (fast überall)
also ist


Somit ist f' integrierbar.

Sei Dann ist absolut stetig, also auch und es gilt:
f.ü.
Folglich gilt: , d.h es gilt:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Du musst doch beweisen, dass jede absolut stetige Funktion eine Stammfunktion ist, und nicht, dass ihre Ableitung integrierbar ist (die Frage danach ist sowieso sinnlos, wenn die Ableitung nicht überall definiert ist).

Zitat:
Original von Elpenor
also ist


Somit ist f' integrierbar.

Wenn du das Integral hinschreibst, nimmst du schon an, dass integrierbar ist. Daraus dann zu folgern, dass integrierbar ist, ist ein Zirkelschluss.

Und die andere Richtung: Bei der Definition von benutzt, dass integrierbar ist, obwohl nur vorausgesetzt ist, dass Stammfunktion von ist.

Wie weiter oben schon gesagt: Integrierbarkeit und Existenz einer Stammfunktion sind nicht das Gleiche! Sie fallen zwar für stetige Funktionen zusammen, aber sonst haben sie im Prinzip nichts miteinander zu tun.

Gruß MSS
Elpenor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

Du musst doch beweisen, dass jede absolut stetige Funktion eine Stammfunktion ist, und nicht, dass ihre Ableitung integrierbar ist (die Frage danach ist sowieso sinnlos, wenn die Ableitung nicht überall definiert ist).

Bitte lies den ganzen Beweis, es wurde nur eine Richtung gezeigt. :-)
Dass jede Stammfunktion auf [a,b] absolut stetig ist, ist trival.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

Wenn du das Integral hinschreibst, nimmst du schon an, dass integrierbar ist. Daraus dann zu folgern, dass integrierbar ist, ist ein Zirkelschluss.


Eben nicht! Eine Funktion ist genau dann über integrierbar, wenn ; genau das wurde gezeigt. Der Beweis geht nun noch weiter...


MfG
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elpenor
Bitte lies den ganzen Beweis, es wurde nur eine Richtung gezeigt. :-)

Achso, das hatte ich falsch verstanden.
Allerdings hatte ich Philipp so verstanden, dass es hier um R- und nicht um L-Integrierbarkeit geht. (edit: Sehe grad, dass die Integrierbarkeit für die eigentliche Aussage ja irrelevant ist.)
Und eigentlich musst du ja zeigen: Wenn absolutstetig ist, dann auch (überall) differenzierbar.
Da aber nur fast überall existiert, kann nicht (R-)integrierbar sein (dazu müsste sie erstmal überall definiert sein) und schon gar nicht muss deshalb überall differenzierbar sein.

Gruß MSS
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