Einheiten von Gruppenring

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Amelie72 Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten von Gruppenring
Hallo, mich beschäftigt folgende Aufgabe...

Sei C3={1,x,x²} die zyklische Gruppe
Betrachte den Gruppenring R := F2[C3].

Was sind nun die Einheiten von R?
--------------
MEINE IDEEN:
Sei f€R eine Einheit, es gibt also ein g€R mit f•g = 1
Die 1 €R ist ein konstantes Polynom, also hat den Grad 0.
Nach der Gradformel

Grad(f•g)<Grad(f)+Grad(g)

haben wir also :
Grad(f)+ Grad(g) = 0

Dies gilt nur für f = 1 , genauer:
Für alle f€F2\{0} (?) (...)
(hier ist mir die Sache unklar... Kann ich f, welches ein Polynom ist, als ein Koerperelement betrachten?)

Allgemein gilt:
Jedes Element aus einem Körper hat ein multiplikatives Inverses (außer die 0).
Somit sind alle Elemente x€K\{0} Einheiten.
Hier also :
da alle f€F2\{0} Einheiten sind (also hier nur die 1) ,
sind die Einheiten von R genau die Elemente aus F2\{0} (also nur die 1, als Konstantes Polynom!)
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheiten von Gruppenring
Hallo,
Das sehe ich anders. Augenzwinkern
1,x, und x^2 sind hier auf jeden Fall Einheiten, das mult. Inverse zu x ist nämlich x^2, denn
x mal x^2 ist in diesem gruppenring gleich 1. Jetzt ist nur noch zu untersuchen, ob die
uebrigen Elemente aus diesem ring wie z.b. x^2+1 invertierbar sind...
Gruss ollie3
 
 
Amelie72 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
sind denn die Elemente aus R=F2[C3] die aus C3={1,x,x²} ?
Woher hast du z.b.das von dir erwähnte Element x²+1 ?
verwirrt
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
...weil man in einem ring die Elemente beliebig addieren und multiplizieren
darf. Ich habe uebrigens alles durch probiert, die restlichen Elemente, also
x^2+1, x+1, x^2+x, und x^2+x+1 sind nicht invertierbar.
gruss ollie3
Amelie72 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir erstmal, ollie3 smile

Ich habe auch alle möglichen Verknüpfungen angeschaut,
also:
1, x, x², (x+1), (x²+x), (x²+1) und (x²+x+1) , also 7 Stück.
Sind das die allen(!) Elemente von R ? ?

Ist das bei Gruppenringen immer so? Werden die Gruppenelemente untereinander (permutativ) verknüpft und die daraus entstehenden neuen Elemente sind dann die Elemente von dem Gruppenring? Ist das so?

kannst du mir sagen was du unter einem Gruppenring genau verstehst?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
...ja, deine Liste ist vollständig. Freude Mehr Elemente gibt es nicht, weil die Koeffizienten
ja aus F2 sein müssen. Und ein gruppenring ist so was aehnliches wie ein polynomring
wie z.b. Z[X] oder Q[X], nur das die rechengesetze etwas anders sind, weil es hier nur endlich viele
potenzen von x gibt.
gruss ollie3
Amelie72 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wo ist denn hier das Nullpolynom?

Wenn ich mir in diesem Ring R die additive abelsche Gruppe anschaue, so hat man doch z.b. x² + x² = 0
(Wegen x²+x²=1•x²+1•x²= (1+1)•x²=0•x²=0)

Aber auch bei der Multiplikation tritt die 0 auf, z.b.bei
(x²+1)•(x²+x+1)=x+1+x²+x²+x+1= 0

(Hier sieht man auch die Nullteiler:
alle Elemente aus R, außer 1, x und x² sind Nullteiler in R
richtig ? ) (und natürlich auch außer 0 ...)
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
...sorry, du hast natürlich recht, das nullpolynom gehört auch dazu, es gibt insgesamt
2^3=8 Elemente. Und das dieser ring nicht nullteilerfrei ist, hast du auch richtig erkannt. Augenzwinkern
gruss ollie3
Amelie72 Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenfassung
R=F2[C3] hat 8 Elemente. Dieser Gruppenring R besteht aus allen Linearkombinationen der Gruppe C3 (nach Def.),
also
(1+1=)0, 1, x, x², (x+1), (x²+1),(x²+x), (x²+x+1)

(R,+,•) ist ein Ring mit Einselement ;
also (R,+) ist abelsche Gruppe
und (R,•) ist eine Halbgruppe.

In (R,•) suche man die Einheiten bzw.die Nullteiler:

Einheiten: 1, x und x².
(Denn 1•1=1 und x•x²= 1= x²•x)

Und die restlichen 4 Elemente sind Nullteiler
(Die 0 wird nicht gezählt!):
(x²+x)•(x²+x+1) = 0 ,
(x+1)•(x²+x+1) = 0 und
(x²+1)•(x²+x+1)= 0.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
alles richtig. Freude
gruss ollie3
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