Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems

01.01.2016, 09:43	Hell90	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems Meine Frage: Hallo, hoffe die Frage ist hier richtig untergebracht! Nachdem ich unter dem Punkt keine hilfreichen Antworten gefunden habe, stelle ich die Frage mal hier. Es geht wie in dem Titel um die allgemeine Lösung eines Gleichungssystem. Eine der Aufgaben nehme ich einfach als Bsp. Fragestellung: Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b: $\begin{eqnarray} 1x_{1} + 2x_{2} + 9x_{3} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x_{1} + 6x_{2} + 8x_{3} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x_{1} + 7x_{2} + bx_{3} = 4 \end{eqnarray}$ Für welchen Wert von b ist das Gleichungssystem überhaupt lösbar? Geben Sie eine allgemeine Lösung an! Das Endergebnis soll so aussehen, wobei es auch sein könnte, dass es zumindest bei der ersten Lösung nur eine Möglichkeit ist, die hier dargestellt wird und je nachdem welche Zahl man verwendet der Vektor anders ist: Lösbar $\begin{eqnarray} \forall b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b \neq 41 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 19 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix} , \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b=41 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* So, meine Ideen, bzw. mein Vorgehen sind fast vollständig, mir fehlt nur noch der letzte Rest... Erst stelle ich mein Gleichungssystem auf in der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9 \\ 4 & 6 & 8 \\ 3 & 7 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Darstellung ist hoffentlich in Ordnung, eine andere Möglichkeit hab ich nicht in der Sammlung gefunden... Nach dem Entwickeln sieht das ganze bei mir so aus(dürfte richtig sein): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9 \\ 0 & -2 & -28 \\ 0 & 0 & b-41 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ \ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit hätte ich 2 Fälle: Für: $\begin{eqnarray} x_{3}(b-41)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3}b-x_{3}41 =0 \end{eqnarray}$ Also 1. Fall: $\begin{eqnarray} b=41 \end{eqnarray}$ Und 2. Fall: $\begin{eqnarray} b\neq 41 \end{eqnarray}$ Aber viel weiter komme ich jetzt nicht... Ich soll, wie auch immer auf die vektorielle Form schließen, wenn ich es richtig verstanden habe. Also z.B.: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{r_{1} } + \lambda \vec{a} \end{eqnarray}$ Was ich weiß, ist das durch die Nullzeile die entsteht wenn b= 41 ist, es unendlich viele Lösungen entstehen. Das einzige was ich jetzt noch hinbekomme, ist mir für $\begin{eqnarray} x_{3} = beliebige Zahl \end{eqnarray*}$ zu setzen, also z.B. 1 und dann das Gleichungssystem zu berechnen. Aber was bringt das mir? Hoffe ich bekomme hier die richtigen Hinweise Danke schonmal im Vorraus!
01.01.2016, 10:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Drücke die Lösung für $\begin{eqnarray} b=41 \end{eqnarray}$ doch mal durch $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ aus und vergleichen das Ergebnis mit der Musterlösung.
02.01.2016, 08:30	Hell90	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du damit? Sorry, vlt. kenne ich es unter einer anderen Formulierung...
02.01.2016, 09:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann halt anders: Die zweite Gleichung lautet $\begin{eqnarray} -2x_2-28x_3=-2 \end{eqnarray}$ . Formen sie nach $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ um und setze das Ergebnis in die erste Gleichung ein. Die formst Du dann wieder nach $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ um. Der Lösungsvektor lautet dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1(x_3) \\ x_2(x_3) \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.01.2016, 09:36	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems Schreib dein System bitte als Matrizengleichung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9 \\ 0 & -2 & -28 \\ 0 & 0 & b-41 \end{pmatrix} \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ \ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ist Stufenform, nur bietet sich an, Zeile 2 zur Zeile 1 zu addieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -19 \\ 0 & -2 & -28 \\ 0 & 0 & b-41 \end{pmatrix} \vec x = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ \ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} b=41 \end{eqnarray}$ jetzt ist $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ frei wählbar. Wir wollen aber alle Lösungen, deshalb wählen wir keine konkrete Zahl für $\begin{eqnarray} x_3. \end{eqnarray}$ Diese Koordinate ist jetzt selbst Parameter der Lösung. Damit keine doppelten Bezeichner auftreten wählt man z.b $\begin{eqnarray} x_3=\lambda\quad \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Also: i) $\begin{eqnarray} x_3= \lambda \end{eqnarray}$ . in Zeile 1 eingesetzt folgt: $\begin{eqnarray} x_1 -19\lambda=-1 \rightarrow x_1 =-1+19 \lambda \end{eqnarray}$ Also: ii) $\begin{eqnarray} x_1 =-1+19 \lambda \end{eqnarray}$ und jetzt beides in Zeile 2 eingesetzt: iii) $\begin{eqnarray} x_2= .... \end{eqnarray}$ Das ganze sortieren und in Vektoren schreiben... EDIT: uups,da ist schon eine Antwort. Ich habe es mal etwas ausführlicher formuliert und bin in Richtung des Parameters Lambda gegangen.
02.01.2016, 11:32	Hell90	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Helferlein & Dopap: Danke, mit euren beiden Aussagen versteh ich es jetzt... das es so banal ist hätte ich nicht gedacht! Hätte vermutlich noch stundenlang zumgetüffelt und wäre mit meinen komplizierten herangehensweisen nie drauf gekommen
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02.01.2016, 13:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Lösungsmenge ist eindimensional ( Gerade im Raum ) und im anderen Fall ergibt sich genau eine Lösung. Nulldimensional ( Punkt im Raum )

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