Aussagelogik

01.01.2016, 21:03

Neero

Aussagelogik

Meine Frage:
Hallo,

kann mir bitte jemand sagen, ob die folgende Aussage richtig ist?

$\begin{eqnarray*} A \nRightarrow B \ \ \ \ \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neg A \nLeftarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ganz naiv stelle ich mir vor, dass dies gelten müsste, aus der Überlegung dass:

$\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \ \ \ \ \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neg A \Leftarrow \neg B \end{eqnarray*}$

vielen Dank für eure Tipps!

Nero

01.01.2016, 22:47

MeMeansMe

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RE: Aussagelogik
Hey,

ist dir denn klar, warum

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B\qquad\Leftrightarrow\qquad \lnot B\Rightarrow \lnot A \end{eqnarray*}$

gilt (Stichwort "Wahrheitstabelle")? Wenn ja, dann betrachte die Aussage

$\begin{eqnarray*} \lnot (A\Rightarrow B)\qquad\Leftrightarrow\qquad \lnot (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$

anhand einer Wahrheitstabelle smile

Dann siehst du, dass diese Aussage in der Tat wahr ist.

02.01.2016, 08:15

Neero

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RE: Aussagelogik
Hallo MeMeansMe,

vielen Dank für deine Antwort! Ich wäre gar nicht drauf gekommen, das ganze mit einer Wahrheitstabelle zu erklären.

Ist dies so richtig? Danke nochmals fürs Antworten.

Nero

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{cc|c|c|c|c} A & B & A $\rightarrow$ B & A $\nrightarrow$ B & $\neg$ A $\leftarrow \neg$ B & $\neg$A $\nleftarrow \neg$ B \\ 1 &1 & w & f & w& f\\ 1 & 0 & f & w & f& w\\ 0 & 1 & w & f & w& f\\ 0 & 0 & w & f & w& f\\ \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Also folgt:
$\begin{eqnarray*} A \nrightarrow B \Leftrightarrow \neg A \nleftarrow \neg B \end{eqnarray*}$

02.01.2016, 08:52

Dopap

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RE: Aussagelogik

Zitat:

Original von Neero

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{cc|c|c|c|c} A & B & A $\rightarrow$ B & A $\nrightarrow$ B & $\neg$ A $\leftarrow \neg$ B & $\neg$A $\nleftarrow \neg$ B \hline 1 &1 & w & f & w& f 1 & 0 & f & w & f& w 0 & 1 & w & f & w& f 0 & 0 & w & f & w& f \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Also folgt:

$\begin{eqnarray*} A \nrightarrow B \Leftrightarrow \neg A \nleftarrow \neg B \end{eqnarray*}$

formal schöner ist es, wenn du zeigst, daß

$\begin{eqnarray*} A \nrightarrow B \leftrightarrow \neg A \nleftarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Wahrform ist. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ die Bijunktion.

Und: entweder {w,f} oder {1,0} verwenden.

02.01.2016, 11:45

MeMeansMe

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RE: Aussagelogik
Hey,

Zitat:

Original von Neero

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{cc|c|c|c|c} A & B & A $\rightarrow$ B & A $\nrightarrow$ B & $\neg$ A $\leftarrow \neg$ B & $\neg$A $\nleftarrow \neg$ B 1 &1 & w & f & w& f 1 & 0 & f & w & f& w 0 & 1 & w & f & w& f 0 & 0 & w & f & w& f \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Also folgt:
$\begin{eqnarray*} A \nrightarrow B \Leftrightarrow \neg A \nleftarrow \neg B \end{eqnarray*}$

Wie Dopap schon gesagt hat, macht die Bijunktion $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ den Beweis komplett. Du musst ja noch formal zeigen (d.h. mit Wahrheitstabelle), dass die beiden Aussagen auch wirklich äquivalent sind!

02.01.2016, 13:45

Dopap

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man sollte $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \quad \text {und} \quad \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ( Äquivalenz und Implikation ) nicht als Verknüpfungssymbole behandeln.

Beide sind Relationen auf Mengen während Bijunktion und Subjunktion Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \{0,1\}\times \{0,1\} \end{eqnarray*}$ sind.

Du verwendest den Doppelpfeil im selben Satz einmal als Verknüpfung und dann wieder als Relation.
Das geht nicht.

03.01.2016, 11:46

Neero

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Hallo Dopap und MeMeansMe,

vielen Dank für eure Antworten jetzt habe ich es verstanden, und also "Bonus" habe ich sogar endlich noch den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ kapiert.

many thanks! Freude

Nero

03.01.2016, 14:04

Dopap

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Fein! Leider herrscht da ein Mischmasch im Gebrauch der Symbole. Achte deshalb auch darauf, ob logische Variable verwendet werden
oder ob es sich um Folgerungen und/oder Äquivalenz von wahren Aussagen handelt. Wink

03.01.2016, 17:39

MeMeansMe

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Zitat:

Original von Dopap
Leider herrscht da ein Mischmasch im Gebrauch der Symbole.

Genau das war auch mein Problem. Ich habe bisher in mehreren Mathematikvorlesungen beide Symbole als Äquivalenzsymbol gesehen, deshalb mein Irrtum. Ich hätte nur den Begriff "Bijunktion" nicht benutzen dürfen. Dafür entschuldige ich mich smile

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