Monotonie mittels MWS beweisen

02.01.2016, 20:25	sasax3	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie mittels MWS beweisen Hallo zusammen! Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, für die mir auch nach reichlicher Überlegung leider jeglicher Ansatz fehlt: Sei f: $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine zweimal differenzierbare Funktion mit f(0)=0 und f ' '(x)>0 $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Funktion mit g(x):=f(x)/x auf (0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ) streng monoton wachsend. Wir haben den Tipp bekommen g'(x)>0 mithilfe des Zwischenwertsatzes zu beweisen, leider weiß ich nicht so genau, wie ich das anstellen soll, da f(x) selbst nicht konkret definiert ist. Ich wäre für jeden weiteren Hinweis sehr dankbar! lg sasax3
02.01.2016, 23:38	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie mittels MWS beweisen Eigentlich sind schon genug Tipps gegeben. Berechne g' mit der Quotientenregel. Wende dann den MWS auf f an den Stellen a=0 und b=x an für festes x>0. Zusammen mit den Voraussetzungen f(0)=0 und f''(x)>0 kannst du dann schließlich g'(x)>0 für x>0 einsehen. Gruß Shipwater
03.01.2016, 18:23	sasax3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die schnelle Antwort! : ) Also ich hab mal versucht das, was du geschrieben hast, umzusetzen, aber ich fürchte, ich hab mich da in irgendetwas verrant: g(x)=f(x)/x g'(x)=( f'(x)*x-f(x))/x² laut MWS gilt: f'(x_0)=(f(x)-f(0))/x dies setzen wir nun mit f(0)=0 in die Gleichung für g'(x) ein und erhalten: g'(x)=f(x)-f(x)/x²=0 Der letzte Schritt ist offensichtlich nicht richtig, es galt ja g'(x)>0 zu beweisen. :/ Vielleicht mag mir da einer weiterhelfen, das würd mich sehr freuen. lg
03.01.2016, 18:51	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst genauer sein. Laut MWS gibt es ein $\begin{eqnarray} x_0 \in (0,x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(x_0)=\frac{f(x)}{x} \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray} x_0 \neq x \end{eqnarray}$ also kannst du $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ nicht einfach durch $\begin{eqnarray} f'(x_0) \end{eqnarray}$ ersetzen. Du kannst aber die Voraussetzung $\begin{eqnarray} f''(x)>0 \ (x \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ benutzen, um $\begin{eqnarray} f'(x_0)<f'(x) \end{eqnarray}$ zu zeigen. Ist dir klar wie? Gruß Shipwater

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