Beweis zu Basiswechsel

03.01.2016, 09:57	Wynne	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Basiswechsel Ich habe folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} B=(b_1,...,b_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C=(c_1,...,c_m) \end{eqnarray}$ Basen der K-Vektorräume V bzw. W. E und E' bezeichnen die Standardbasen von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} K^m \end{eqnarray}$ sowie: $\begin{eqnarray} \varphi \in \end{eqnarray}$ Iso $\begin{eqnarray} (V,K^n) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B\mapsto E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \in \end{eqnarray}$ Iso $\begin{eqnarray} (W,K^m) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C \mapsto E' \end{eqnarray}$ die zugehörigen Basishomomorphismen; zu $\begin{eqnarray} X\in K^{m\times n} \end{eqnarray}$ definiert man weiter $\begin{eqnarray} f_X \in \end{eqnarray}$ Hom $\begin{eqnarray} (K^n,K^m) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} E \mapsto E'X \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass mit $\begin{eqnarray} X:= \zeta_B^C(f) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f_X \circ \varphi = \psi \circ f \end{eqnarray}$ Ich hab so angefangen: sei $\begin{eqnarray} a \in V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(a) = \sum\limits_{i=1}^n f(b_i)y_i = \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{j=1}^m c_jz_{ji})y_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi(\sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{j=1}^m c_jz_{ji})y_i ) = \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{j=1}^m \psi(c_j)z_{ji})y_i = \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{j=1}^m e'_jz_{ji})y_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi (a) = \sum\limits_{i=1}^n\varphi(b_i)y_i = \sum\limits_{i=1}^n e_iy_i \end{eqnarray}$ und jetzt bin ich mir nicht sicher, was $\begin{eqnarray} E'X \end{eqnarray}$ ist, weil ja $\begin{eqnarray} E' \end{eqnarray}$ keine Matrix, sondern eine Menge von Vektoren ist. Ich meine es ist wieder $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... &0 \\ : & : & : & : \\ 0 & 0 & ... &1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}z_{11} & z_{12} & ... & z_{1n} \\ z_{21} & z_{22} & ... &z_{2n} \\ : & : & : & : \\ z_{m1} & z_{m2} & ... &z_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}z_{11} & z_{12} & ... & z_{1n} \\ z_{21} & z_{22} & ... &z_{2n} \\ : & : & : & : \\ z_{m1} & z_{m2} & ... &z_{mn}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f_X(e_i) = \sum\limits_{j=1}^m e'_jz_{ji} \end{eqnarray}$ Damit ist dann $\begin{eqnarray} f_X(\sum\limits_{i=1}^n e_iy_i) = \sum\limits_{i=1}^n f_X(e_i)y_i = \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{j=1}^m e'_jz_{ji})y_i \end{eqnarray}$ wmoit $\begin{eqnarray} f_X \circ \varphi = \psi \circ f \end{eqnarray}$ gezeigt worden wäre. Ich bin mir halt nur nicht sicher, wegen dem $\begin{eqnarray} E'X \end{eqnarray}$

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