Term mit Laplace-Operator partiell integrieren

03.01.2016, 18:24

quasi

Term mit Laplace-Operator partiell integrieren

Hallo miteinander,

ich habe eine Differentialgleichung, die ich integrieren will:

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega v(\vec{x})\nabla\cdot (D\nabla c(\vec{x},t))d\Omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante

Da sowohl $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ abhängen muss ich wohl partiell integrieren. Also wähle ich gemäß

$\begin{eqnarray*} \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x) dx \end{eqnarray*}$

meine $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} u=&v(\vec{x})<br /> v'=&\nabla\cdot (D\nabla c(\vec{x},t)) \end{eqnarray*}$

Und jetzt tritt das Problem auf. Wie Integriere ich $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ ? Da $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist, kann ich sie auch nach vorne ziehen, dann habe ich
$\begin{eqnarray*} v'=&\nabla\cdot \nabla c(\vec{x},t) \end{eqnarray*}$
was immerhin schon etwas handlicher erscheint und, um auf das Thread-Thema zu sprechen zu kommen, gleich Folgendem sein sollte:
$\begin{eqnarray*} v'=&\Delta c(\vec{x},t) \end{eqnarray*}$
Ich habe bereits versucht, es komponentenweise aufzudröseln:
$\begin{eqnarray*} v' = \frac{\partial^2c}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2c}{\partial x_2^2} + ... \end{eqnarray*}$
und zu integrieren, bin mir aber nicht sicher mit meinem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} v=\frac{\partial c}{\partial x_1}x_2+\frac{\partial c}{\partial x_2}x_1 \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung für den Integralen Term, der nach der partiellen Integration übrig bleibt ist folgende:
$\begin{eqnarray*} \int_\Omega D\nabla v(\vec{x})\cdot\nabla c(\vec{x},t)d\Omega \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebnis erhalte ich auch, wenn ich für das Integral von $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ Folgendes als $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ annehme: $\begin{eqnarray*} v=\cdot\nabla c(\vec{x},t) \end{eqnarray*}$

Das kommt einem einfachen "Streichen" des ersten $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ im Term von $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ gleich.

Allerdings wirkt das nicht sonderlich mathematisch, sondern irgendwie an den Haaren herbei gezogen. Deshalb meine Frage: Wie funktioniert das Richtige Integrieren des $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ Terms?

Edit: Sorry für das Falsche Forum, wollte eigentlich in Hochschulmathe

04.01.2016, 10:31

Ehos

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Wenn ich dich richtig verstehe, willst du folgendes Volumenintegral berechnen

$\begin{eqnarray*} \int \int \int v\cdot div(\nabla c) \,\,dV \end{eqnarray*}$

(Den konstanten Faktor D habe ich weggelassen) Den Integranden kann man mit folgender allgemeinen Formel substituieren, die für beliebige skalare Funktionen $\begin{eqnarray*} v(\vec x), c(\vec x) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} div(v\cdot \nabla c)=\nabla v\cdot \nabla c+v\cdot div(\nabla c) \end{eqnarray*}$

Damit wird aus dem obigen Integral

$\begin{eqnarray*} \int \int \int v\cdot div(\nabla c) \,\,dV=\int \int \int div(v\cdot \nabla c)-\nabla v\cdot \nabla c \,\,dV \end{eqnarray*}$

Das Integral über den 1.Summanden kann man mit dem Gaußschen Satz in ein Oberflächenintegral umformen

$\begin{eqnarray*} \int \int \int v\cdot div(\nabla c) \,\,dV=\underbrace{\int \int v\cdot \nabla c \,\,d\vec A}_{\text{Oberflächenintegral}}-\int \int \int \nabla v\cdot \nabla c \,\,dV \end{eqnarray*}$

In vielen praktischenn Fällen verschwindet das Oberflächenintegral, wenn die Funktion v oder der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla c \end{eqnarray*}$ an der Grenze verschwindet. Die letzte Formel ist übrigens das Analogon zur bekannten partiellen Integration im Eindimensionalen

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2} uc'' \,dx=uc'|_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2} u'c'\,dx \end{eqnarray*}$

05.01.2016, 12:06

quasi

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Zitat:

Den Integranden kann man mit folgender allgemeinen Formel substituieren, die für beliebige skalare Funktionen $\begin{eqnarray*} v(\vec x), c(\vec x) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} div(v\cdot \nabla c)=\nabla v\cdot \nabla c+v\cdot div(\nabla c) \end{eqnarray*}$

tausend dank, das war der schlüssel!

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