Basiswechsel

03.01.2016, 23:42	heribert	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel $\begin{eqnarray} <br /> Im \ \mathbb Q - Vektorraum\ \mathbb Q^{3}\ seien\ v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \\und\ \mathbb B =(e_1,e_2,e_3)\ die\ Standardbasis. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Es\ sei f: \mathbb Q^{3} \rightarrow \mathbb Q^{3} \end{eqnarray}$ die eindeutige lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} f(v_1)=v_2 , f(v_2)=v_3, f(v_3)=v_1<br /> \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) \end{eqnarray}$ und die Basiswechselmatrizen $\begin{eqnarray} T_{\zeta\mathbb B} und T_{\mathbb B \zeta} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie weiterhin $\begin{eqnarray} M_{\mathbb B\mathbb B}(f) \end{eqnarray}$ Meine Lösung: $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} T_{\zeta\mathbb B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} T_{\mathbb B\zeta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit?
04.01.2016, 09:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel Mal abgesehen davon, daß die Basis $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ nicht angegeben wurde, sind $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_{\mathbb B\zeta} \end{eqnarray}$ falsch.
04.01.2016, 09:55	olegsen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel $\begin{eqnarray} \zeta = ( v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray}$ Stimmt es so: $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} T_{B\zeta}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$
04.01.2016, 10:01	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel $\begin{eqnarray} T_{B\zeta} \end{eqnarray}$ stimmt jetzt. Überlege dir nochmal genau, welche Vektoren in die Spalten von $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) \end{eqnarray}$ einzutragen sind.
04.01.2016, 10:05	olegsen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel Okay. Also ich habe mir gedacht, dass beispielsweise bei der Multiplikaiton Folgendes stimmen muss: $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) v_1 = v_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) * v_2 = v_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) * v_3 = v_1 \end{eqnarray}$ und so die Matrix $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) \end{eqnarray*}$ bestimmt.
04.01.2016, 10:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel Offensichtlich hast du noch nicht verstanden, wie die Abbildungsmatrix gebildet wird. Korrekt ist: $\begin{eqnarray} M_{\zeta\zeta}(f) (\text{Koordinatenvektor von } v_1 \text{bezüglich Basis } \zeta ) = (\text{Koordinatenvektor von } v_2 \text{bezüglich Basis } \zeta ) \end{eqnarray*}$ etc. EDIT: bist du eigentlich identisch mit "Heribert"?
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04.01.2016, 10:20	olegsen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel Hallo, wäre es demnach dann: $\begin{eqnarray} <br /> M_{\zeta\zeta}(f) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> M_{\zeta\zeta}(f) * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> M_{\zeta\zeta}(f) * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> M_{\zeta\zeta}(f)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Sorry für die nervige Fragerei..
04.01.2016, 10:31	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel Kein Problem. Jetzt paßt es ja auch.

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