Verteilung eines Produktes zweier Zufallsvariablen

04.01.2016, 14:42

LemanRuss

Verteilung eines Produktes zweier Zufallsvariablen

Hi,

Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 1 und $\begin{eqnarray*} p \in (0, 1) \end{eqnarray*}$ . Y sei Poisson-verteilt zu einem Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda >0 \end{eqnarray*}$ . Durch Z := XY ist eine neue Zufallsvariable definiert. Berechnen Sie

a) die Verteilung von Z, d.h. die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P({Z=k}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$
b) den Erwartungswert E(Z), Varianz Var(Z), sowie Kovarianz Cov(Z,X)

Ich weiß garnicht, wie der Ansatz für die a) sein soll. Ich dachte mir ich versuche einfach die Zähldichten zu multiplizieren, aber ich komme da nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} P (Z = k) = \frac{1}{k!(1-k)!} p^{k} (1-p)^{1-k} e^{-\lambda } \frac{\lambda ^{k} }{k!} = ? \end{eqnarray*}$

04.01.2016, 14:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von LemanRuss
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 1 und $\begin{eqnarray*} p \in (0, 1) \end{eqnarray*}$ .

Wir haben hier ja dann den sehr, sehr einfachen Fall, dass $\begin{align*} X \end{align*}$ nur die beiden Werte 0 oder 1 annehmen kann. Was bedeutet das denn für $\begin{align*} P(Z=k)=P(XY=k) \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} k\neq 0 \end{align*}$ ?

04.01.2016, 15:16

LemanRuss

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Für $\begin{eqnarray*} X = 1 \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} P (XY = k) = P(Y = k) = e^{-\lambda } \frac{\lambda ^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nur nicht, was mir das bringt verwirrt

04.01.2016, 15:19

HAL 9000

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Nein: Es ist dann $\begin{align*} P(XY=k) = P(X=1)\cdot P(Y=k) = p\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{align*}$ für $\begin{align*} k>0 \end{align*}$ .

04.01.2016, 15:39

LemanRuss

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Was ist mit dem Fall X = 0? Den muss ich doch auch irgendwie berücksichtigen?

Da habe ich $\begin{eqnarray*} P (XY = k) = P(X = 0) * P(Y = k) = (1-p)\frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } \end{eqnarray*}$

04.01.2016, 15:42

HAL 9000

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Erneut unüberlegtes Vorgehen. unglücklich

$\begin{align*} k=0 \end{align*}$ ist ein Sonderfall: Denn kannst du entweder berechnen über $\begin{align*} P(Z=0) = 1-\sum_{k=1}^{\infty} P(Z=k) \end{align*}$ (nach dem Motto "alles, was übrig ist") oder direkt über

$\begin{align*} P(Z=0) = P(X=0) + P(X=1)\cdot P(Y=0) = 1-p + pe^{-\lambda} \end{align*}$ .

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