Werte einer Reihe mit Fakultät im Nenner

04.01.2016, 19:09	leitwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Werte einer Reihe mit Fakultät im Nenner Hallo zusammen, ich soll den Wert folgender Reihe berechnen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^2+2n+5}{n!} \end{eqnarray}$ Ich kenne die Exponentialreihe, die sagt, dass gilt: $\begin{eqnarray} e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$ Außerdem weiß ich, dank Wolfram Alpha, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray} 9e - 5 \end{eqnarray}$ ist. Mache ich bei meiner Reihe eine Indexverschiebung auf n=0 habe ich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{n^2+2n+5}{n!}) - 5 \end{eqnarray}$ Nur hier komme ich irgendwie nicht weiter... Ich vermute, dass die -5 die durch die Indexverschiebung zustande gekommen sind, auch die -5 der Lösung sind. Also müsste die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{n^2+2n+5}{n!}) = 9e \end{eqnarray}$ sein.. Kann mir jemand von euch bitte einen Tipp geben ? Danke im voraus Leitwerk
04.01.2016, 19:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte einer Reihe mit Fakultät im Nenner Differenziere $\begin{eqnarray} e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$ . Das liefert dir alle Bausteine, die du brauchst
04.01.2016, 20:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kommt auch allein mit $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e \end{align}$ aus: Durch passendes "Kürzen" sowie Indexverschiebung ergibt sich $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k)}{n!} = \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k)}{n!} = \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{1}{(n-k-1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e \end{align}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{align} k \end{align}$ . Damit ist $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+2n+5}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(n-1)+3n+5}{n!} = (1+3+5)e = 9e \end{align}$

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