Binomialkoeffizient mit reellen Zahlen

05.01.2016, 08:34

Lehi

Binomialkoeffizient mit reellen Zahlen

Ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} z^k \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |z| < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und was passiert für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, diese Aufgabe taucht des öfteren im Internet auf, aber sie wird immer mit der Taylorreihe gelöst. Die Taylorreihe haben wir leider noch nicht. Außerdem soll ich nur zeigen, dass sie konvergiert und nicht wogegen.

Ich habs schon mit dem Quotienten-Kriterium und Majoranten versucht, aber bisher habe ich keinen Erfolg gehabt.

Ich hoffe es findet sich jemand, der mir einen Denkanstoß in die richtige Richtung geben kann

05.01.2016, 08:56

Guppi12

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Hallo,

was hast du denn mit dem Quotientenkriterium erhalten? Das sollte hier eigentlich funktionieren.

05.01.2016, 09:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lehi
konvergiert für $\begin{eqnarray*} |z| < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Es gibt keine komplexe Zahl mit $\begin{align*} |z|<0 \end{align*}$ . Anscheinend meinst du hier $\begin{align*} |z|<1 \end{align*}$ .

Wirklich spannend ist natürlich, was für |z|=1 passiert.

05.01.2016, 10:01

Lehi

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Du hast recht es sollte $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ sein

Beim Quotienten-Kriterium hab ich mich verrechnet. Es ist natürlich

$\begin{eqnarray*} \frac{|\alpha - k|}{k+1} \cdot |z| \end{eqnarray*}$

und spätestens wenn $\begin{eqnarray*} k > |\alpha| \Rightarrow \frac{|\alpha - k|}{k+1} \cdot |z| \leq |z| < 1 \end{eqnarray*}$
Nur was ist jetzt das Konvergenzverhalten für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ ?

Kann ich nicht einfach als Minorante $\begin{eqnarray*} |z| < 1 \end{eqnarray*}$ wählen?

05.01.2016, 10:13

HAL 9000

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Vorab folgendes: Denk mal genau über den Sonderfall $\begin{align*} \alpha\in\mathbb{N}_0 \end{align*}$ nach...

Deine Quotientenberechnung $\begin{align*} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{|\alpha-k|}{k+1}\cdot |z| \end{align*}$ ist im Fall $\begin{align*} \alpha\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{N}_0 \end{align*}$ soweit richtig. Du kannst aber nicht einfach $\begin{align*} |z|<1 \end{align*}$ "wählen" - es ist für alle komplexen $\begin{align*} z\neq 0 \end{align*}$ zu prüfen, wie sich dieser Quotient verhält (insbesondere was $\begin{align*} k\to\infty \end{align*}$ betrifft) und welche Auswirkungen das auf die Reihenkonvergenz bezogen auf das jeweilige $\begin{align*} z \end{align*}$ hat.

05.01.2016, 10:24

Lehi

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für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} \alpha \\ k \end{pmatrix} = 0 \:\forall k \in \mathbb{N} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} z^k = 0 \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{N} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} z^k = \sum\limits_{k=0}^{\alpha} \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} z^k \end{eqnarray*}$

05.01.2016, 10:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lehi
und für $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{N} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} z^k = \sum\limits_{k=0}^{\alpha} \begin{pmatrix} \alpha \\ k\end{pmatrix} z^k \end{eqnarray*}$

Ok, anscheinend hast du es jetzt mit diesem EDIT nun doch noch erfasst:

Im Fall $\begin{align*} \alpha\in\mathbb{N}_0 \end{align*}$ bricht die Reihe ab, genauer: Es ist dann $\begin{align*} \binom{\alpha}{k}=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k>\alpha \end{align*}$ . Was bedeutet, dass die Reihe dann für alle komplexen $\begin{align*} z \end{align*}$ konvergiert, also auch für $\begin{align*} |z|>1 \end{align*}$ . Der Koeffizienten-Quotient ist in diesem Fall ein unzulässiges 0/0, und damit untauglich für irgendwelche Bewertungen.

05.01.2016, 10:44

Lehi

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Nur was passiert wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |z| > 1 \end{eqnarray*}$ . Ich meine es divergiert, nur wie zeige ich das? Mit einer Minorante?

05.01.2016, 10:47

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \frac{|\alpha - k|}{k+1} \cdot |z| = |z| \end{align*}$ , was im Fall $\begin{align*} |z|>1 \end{align*}$ dann natürlich auch $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \frac{|\alpha - k|}{k+1} \cdot |z| > 1 \end{align*}$ bedeutet, und damit laut Quotientenkriterium dann Reihendivergenz.

05.01.2016, 13:17

Lehi

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Danke dir. Manchmal bin ich echt blind Hammer

05.01.2016, 13:29

HAL 9000

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Den Fall $\begin{align*} |z|=1 \end{align*}$ musst du nicht untersuchen? Das ist der wirklich interessante hier, und bei dem muss man sich stellenweise schon ganz schön strecken. Augenzwinkern

05.01.2016, 15:03

Lehi

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Nein muss ich nicht, aber ich werds versuchen

05.01.2016, 15:13

HAL 9000

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Ist aber wirklich nicht einfach. Im Fall $\begin{align*} -1<\alpha<0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} |z|=1,z\neq -1 \end{align*}$ hilft z.B. so richtig erst das Kriterium von Dirichlet, nicht unbedingt Standardstoff in einer Grundvorlesung.

Betrachte es also ruhig als Kür und investiere besser erst dann Zeit, wenn du (möglicherweise noch andere) Pflichtaufgaben bewältigt hast.

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