Anhand einer Funktion eine Potenzreihe aufstellen

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05.01.2016, 13:56	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Anhand einer Funktion eine Potenzreihe aufstellen Meine Frage: Hallo , ich habe folgende Aufgabenstellung(Bild) gegeben. Meine Ideen: Ich habe mir gedacht die Geometrische Reihe zu verwenden. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } q^{n} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ falls \|q\|<1 ist. Meine Idee wäre den Ausdruck 1/x umzuformen auf 1/(1-(x-1)Restterm und darauf die Formel Für die Geometrische Reihe Verwenden. Ich habe mit (2/x -1)/(2/x -1) erweitert , sodass steht 1/(1-(x-1))(2x-1) . Für den Term auf der linken seite Könnte ich nun die geometrische Reihe benutzen . aber wie gehts weiter ? was passiert mit dem Rechten Term? bzw passt das was ich mir überlegt habe? Bitte um eine Antwort . Danke !
05.01.2016, 14:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anhand einer Funktion eine Potenzreihe aufstellen Warum nicht $\begin{eqnarray} \frac 1 x = \frac {1}{1-(1-x)} \end{eqnarray}$
05.01.2016, 14:49	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anhand einer Funktion eine Potenzreihe aufstellen Hmm wäre dann die Klammer nicht vertauscht? Sollte es auf die Form von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (x-1)^{n} \end{eqnarray}$ bringen mit an natürlich. oder denke ich da falsch?
05.01.2016, 14:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anhand einer Funktion eine Potenzreihe aufstellen 1-x=(-1)(x-1)
05.01.2016, 15:03	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah. Das (-1) kann man jo noch rausheben. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)(x-1)^{n} \end{eqnarray*}$ wäre das ausreichend oder fehlt da noch was?
05.01.2016, 15:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre schlichtweg falsch
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05.01.2016, 15:12	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wo liegt der Fehler bzw was müsste ergänzt werden?
05.01.2016, 15:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du ignorierst die Potenzgesetze
05.01.2016, 15:39	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Wilst du auf das hinaus $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } ((-1)(x-1))^{n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{n}(x-1)^{n} \end{eqnarray}$
05.01.2016, 15:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich
05.01.2016, 15:50	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah dankesehr , da wäre ich zu schlampig gewesen Für die 2te Potenzreihe , wie würdest du deinen ansatz wählen? Ich meine wie man 1/x umformt?
05.01.2016, 16:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dir $\begin{eqnarray} \frac 1 x = \frac {1}{1-(1-x)} \end{eqnarray}$ gegeben, und du weißt, wie die resultiernde Potenzreihe aussieht. Du weißt auch, wie deine zweite Potenzreihe aussehen soll. Also denk mal ein bisschen nach
05.01.2016, 16:45	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ! Meine Idee wäre , so umzuformen : $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} =\frac{1}{1-(1-x)} =\frac{1}{1-\frac{(1-x)(2-x)}{2-x} } \end{eqnarray}$ sodass die Potenzreihe dann so aussieht : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } ((-1)(\frac{1-x}{2-x})) ^{n} (x-2)^{n} \end{eqnarray*}$
05.01.2016, 16:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ging wohl gründlich daneben: Das ist doch keine Potenzreihe der Struktur $\begin{align} \sum_n c_n (x-2)^n \end{align}$ . ------------------------------------------------ Vielleicht einfach mal stur von der angestrebten geometrischen Reihe ausgehen, statt auf irgendeine Eingebung zu hoffen: Angenommen, für gegebenes $\begin{align} x_0 \end{align}$ gibt es eine geometrische Folge $\begin{align} c_n = c_0\lambda^n \end{align}$ , so dass $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-x_0)^n = \frac{1}{x} \end{align}$ für alle $\begin{align} x \end{align}$ aus einer Umgebung von $\begin{align} x_0 \end{align}$ gilt. Dann kann man diese geometrische Reihe gemäß bekannter Summenformel $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \end{align}$ auswerten: $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-x_0)^n = c_0\sum_{n=0}^{\infty} (\lambda(x-x_0))^n = \frac{c_0}{1-\lambda(x-x_0)} \end{align}$ Gleichsetzen mit dem Zielterm $\begin{align} \frac{1}{x} \end{align}$ liefert dann per Koeffizientenvergleich passende $\begin{align} c_0 \end{align}$ und $\begin{align} \lambda \end{align}$ .
05.01.2016, 17:21	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und danke Für die Aufklärung . Dann probiere ich das gleich mal . Da ich weis wie meine Potenzreihe aussehen soll kann ich von dort aus herauslesen x0=2 und dieses einsetzen in : $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} =\frac{c_{0}}{1-\lambda (x-2)} \end{eqnarray}$ formt man um : $\begin{eqnarray} 1-\lambda x +2\lambda =c_{0} x \end{eqnarray}$ vergleicht die Koeffizienten $\begin{eqnarray} x^{1} : -\lambda =c_{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{0} : 1+2\lambda = 0 \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} c_{0} =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ würde ich eine Potenzreihe bekommen die so aussieht: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-\frac{1}{2}(x-2)^{n} \end{eqnarray*}$ Ich hab vergessen zu erwähnen setzt man die werte für c0 und Lambda ein ergibt es wieder den Zielterm 1/x .
05.01.2016, 18:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Den letzten Term überprüfe bitte nochmal: Eine geöffnete Klammer vor dem -1/2, ohne schließendes Gegenstück?
05.01.2016, 18:33	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Da habe ich eine Klammer vergessen zum Hinzufügen , $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-\frac{1}{2}(x-2))^{n} \end{eqnarray}$ meinst du so?
05.01.2016, 18:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so stimmt es. Wenn du die Klammer direkt nach dem -1/2 geschlossen hättest, wäre es nämlich falsch gewesen.
05.01.2016, 19:02	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für deine gute Hilfe !Jz weis ich wie ich an solche beispiele ran gehe
05.01.2016, 23:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte an $\begin{eqnarray} \frac 1 x = \frac{1}{2-(2-x)}=\frac 1 2 \frac {1}{1-\frac{2-x}{2}} \end{eqnarray}$
06.01.2016, 21:12	arni19102	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe vergessen zu fragen wie sich die Konvergenzradien hier ermitteln lassen? Funktioniert das mit Wurzel oder Quotientenkriterium? bzw man nimmt den Kehrwert davon? $\begin{eqnarray} L=\lim sup_{n \to \infty } \sqrt {\|a_{n} \|} \end{eqnarray}$ ( hier ist die nte wurzel gemeint) dann ist der Konvergenzradius den ich mal alpha nenne gleich : $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{1}{L} \end{eqnarray}$ Für die erste Potenzreihe hab ich rausbekommen \|x-1\| <1 Für die Zweite \|-x/2 +1\|<2
26.01.2016, 13:23	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe gerade versucht die Aufgabe nachzurechnen und verstehe nicht ganz wieso so vorgegangen wurde wie hier beschrieben. Die Aufgabe fragt doch nach der Potenzreihenentwicklungen der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ an den stellen a) $\begin{eqnarray} x_{0}=1 \end{eqnarray}$ und b) $\begin{eqnarray} x_{0}=2 \end{eqnarray}$ , oder nicht? Wenn ich dann die Potenzreihen nach dem bekannten Schema entwickle komme ich auf die gleichen Ergebnisse wie hier im Thread. Wieso wurde hier ein anderer Weg gewaehlt? Ist die Potenzreihenentwicklung als nicht bekannt vorausgesetzt?
26.01.2016, 13:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was verstehst du unter "nach dem bekannten Schema"? Diese Bekanntheit kann sehr subjektiv sein.
26.01.2016, 13:43	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab mir beim schreiben schon gedacht, das war evtl. ungluecklick formuliert Also das MIR bekannte Schema ist dieses hier (siehe Anhang).
26.01.2016, 16:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, Taylorreihe also. Ja klar, geht auch, und es kommt letzten Endes auch dasselbe raus. Es ist eben nur so, dass die geometrische Reihe $\begin{align} \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n \end{align}$ von den meisten als einfacher und schneller empfunden wird, als wenn man erstmal allgemein die $\begin{align} n \end{align}$ -te Ableitung bilden muss, und diese dann in die Taylorformel einsetzt... aber eben nur die meisten, nicht alle (du gehörst eben vermutlich zu den anderen).

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