Lp-norm, f beschränkt

05.01.2016, 16:13	MatheEinhorn	Auf diesen Beitrag antworten »
Lp-norm, f beschränkt Meine Frage: $\begin{eqnarray} Sei f:\mathbb R ^d \to \mathbb R stetig. <br /> Es gelte \sup_{1\leq p<\infty } \|\|f\|\|_p < \infty. \end{eqnarray}$ Dann ist f beschränkt. Meine Ideen: Irgendwie finde ich keinen Ansatz und wäre sehr dankbar für einen kleinen Tipp.
05.01.2016, 16:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke nicht, dass man die Stetigkeit benötigt. Zeige $\begin{eqnarray} \\| f \\|_p \geq M \cdot \| \{ \|f\| > M \} \|^{1/p} \end{eqnarray}$ für jede positive Konstante $\begin{eqnarray} M > 0 \end{eqnarray}$ und folgere dadurch, dass $\begin{eqnarray} \| \{ \|f\| > M \} \| =0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gross genug.
05.01.2016, 16:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU: Ich denke schon, dass man Stetigkeit braucht. Sonst kannst du doch in einzelnen Punkte beliebig große Werte vorgeben.
05.01.2016, 16:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zugegeben bin ich davon ausgegangen, dass man Nullmengen ignoriert wie man es bei den $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ Geschichten gerne tut. So zeige ich streng genommen nur, dass die Menge aller "großen Punkte" eine Nullmenge ist. Das könnten immer noch viele sein, und einer wäre bereits eine Katastrophe.
05.01.2016, 17:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen der Stetigkeit ist $\begin{eqnarray} \{\|f\|>M\} \end{eqnarray}$ eine offene Menge. q.e.d

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