Schnitt von allgemeinen Untervektorräumen

05.01.2016, 18:11	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt von allgemeinen Untervektorräumen Hi, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich leider gar nicht weiter komme. Es geht darum zu zeigen, dass der Schnitt zweier Untervektorräume ungleich {0} ist. http://fs5.directupload.net/images/160105/e349ez7p.jpg Ich habe leider keinen Ansatz zu bieten. Vielleicht kann mir jemand auf die Spränge helfen.
05.01.2016, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Dimensionsformel
05.01.2016, 19:08	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also: $\begin{eqnarray} dim(V_{1} + V_{2}) = dim(V_{1}) + dim(V_{2}) - dim(V_{1}\cap V_{2}) \end{eqnarray}$ bzw: $\begin{eqnarray} dim(V_{1}\cap V_{2})= dim(V_{1}) + dim(V_{2}) - dim(V_{1} + V_{2}) \end{eqnarray}$ Für meine Aufgabe heißt das: $\begin{eqnarray} dim(U_{1}\cap U_{2})= j + k - dim(U_{1} + U_{2}) \end{eqnarray}$ Mir ist überhaupt nicht klar wie ich jetzt von den Dimensionen auf den Inhalt des Schnittes schließen soll.
05.01.2016, 19:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} j+k>n \end{eqnarray}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray} U_1+U_2\le V \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} dim(U_1+U_2) \le n \end{eqnarray}$ . Wende das auf die letzte Gleichung an. (Schreibe immer $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ )
05.01.2016, 19:31	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann folgt aus der letzten Gleichung die Abschätzung: $\begin{eqnarray} dim(U_{1} \cap U_{2}) \geq 1 \end{eqnarray}$ Das bedeutet jetzt, dass der sich ergebende Untervektorraum mindestens von der Dimension 1 oder größer ist. Bin ich damit schon fertig?
05.01.2016, 19:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen (was inhaltlich dasselbe aber darstellerisch besser ist) : $\begin{eqnarray} dim(U_1\cap U_2)>0 \end{eqnarray}$ , und daraus folgt die Behauptung (denn nur der Nullraum hat die Dimension 0, jeder andere Vektorraum hat eine Dimension größer als 0).
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05.01.2016, 20:53	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse, vielen Dank für deine Hilfe!

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