Ideale liefern dieselben affinen Varietäten

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05.01.2016, 19:21	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Hallo, wir haben in einer Vorlesung gesehen, dass verschiedene Ideale dieselben affine Varietät liefern können. Zum Beispiel: V(<X,Y>) = V (<X^2,Y) in K^2 Als Grund dafür haben wir angegeben, dass die Potenz eines Polynoms auf derselben Menge verschwindet wie das Polynom selbst. Ich verstehe diese Aussage nicht, kann sie mir jemand erklären? Vielen lieben Dank!
07.01.2016, 17:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Wenn $\begin{eqnarray} X^2=0 \end{eqnarray}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray} X=0 \end{eqnarray}$ . Dadurch haben $\begin{eqnarray} X^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ dieselbe Nullstellenmenge; die von diesen Polynomen erzeugten Ideale liefern dir also dieselbe Varietät.
07.01.2016, 17:43	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Super, vielen Dank! Noch dazu: der Hilbertsche Nullstellen besagt ja, dass wenn f auf V(I) verschwindet, dann gibt es eine Potenz von f, die zu I gehört. Hier nochmal die genaue Formulierung der Satzes: K algebraisch abgeschlossen, f, f_1,...,f_s aus K{x_1,...,x_n}. Dann sind äquivalent: (i) f aus I ( V (f_1,...,f_s) (ii) Es existiert ein m >=1, s.d. f^m aus <f_1,...,f_s>. Warum gilt das nur über algebraisch abgeschlossenen Körpern? Also warum geht das in den reellen Zahlen kaputt?
07.01.2016, 17:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Da wäre ja zum Beispiel $\begin{eqnarray} V(x^2+1) \end{eqnarray}$ leer.
07.01.2016, 17:59	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Ja, das verstehe ich. Was ist denn das Verschwindungsideal der leeren Menge? Also was ist I (leeren Menge) ?
07.01.2016, 18:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Das ist $\begin{eqnarray} \langle1\rangle \end{eqnarray}$ , also der gesamte Ring. Insbesondere nicht $\begin{eqnarray} \langle x^2+1\rangle \end{eqnarray}$ .
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07.01.2016, 18:12	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten das Radikalideal von < $\begin{eqnarray} x^2+1 \end{eqnarray}$ > ist < $\begin{eqnarray} x^2+1 \end{eqnarray}$ > oder? Da verändert sich nichts oder? Wenn also I ( V ( < $\begin{eqnarray} x^2+1 \end{eqnarray}$ > ) = <1> ist dann müsste nach dem Hilbertschen Nullstellensatz < $\begin{eqnarray} x^2+1 \end{eqnarray}$ > = die reellen Zahlen sein und das ist natürlich ein Widerspruch? Ist die Argumentation so richtig?
07.01.2016, 18:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Ja, genau.
07.01.2016, 18:22	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Vielen, vielen Dank! Also warum man die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen braucht, habe ich jetzt kapiert :P Jetzt würde mich noch interessieren warum man die Voraussetzung braucht, dass I ein Radikalideal ist? Was geht kaputt wenn man ein normales Ideal nimmt?
07.01.2016, 18:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Da wäre $\begin{eqnarray} V(X)=V(X^2) \end{eqnarray}$ ; es würden also zwei Ideale dieselbe Varietät erzeugen.
13.01.2016, 17:27	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale liefern dieselben affinen Varietäten Achso ok. Und dann hätten wir Probleme mit der Injektivität oder?
13.01.2016, 18:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, dann haben wir keine Bijektion mehr.
13.01.2016, 19:45	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!! Im vorletzten Beweisschritt, des schwachen Nullstellensatzes, verstehe ich eine Folgerung nicht. und zwar wird angenommen dass \|i\|=\|j\|=N und i ungleich j, dann ist auch (i_2,..,i_n) ungleich (j_2,...,j_n). Warum ist das so? Ich habe dir ein Foto dazu angehängt, dass dir vielleicht klarer wird worum es geht.
13.01.2016, 20:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn zwei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Tupel in den letzten $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Einträgen gleich wären und dann auch noch dieselbe Summe ergeben sollen, wären sie komplett gleich.
13.01.2016, 20:45	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok, danke! Und diese Aussage beweist dann, dass das Produkt von $\begin{eqnarray} t_2^(i_2)...t_n^(i_n) \end{eqnarray}$ nicht 0 werden kann?
13.01.2016, 20:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zeigt erstmal, dass diese in der Summe auftretenden Monome linear unabhängig sind. Daraus kann dann $\begin{eqnarray} b_i=0 \end{eqnarray}$ gefolgert werden.
13.01.2016, 20:53	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum kann man darauf folgern dass $\begin{eqnarray} b_i = 0 \end{eqnarray}$ sein muss? Tut mir leid, den Schritt verstehe ich nicht.
13.01.2016, 20:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Linearkombination linear unabhängiger Monome, welche Null ergibt. Also sind alle Koeffizienten Null.
13.01.2016, 21:52	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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