Beweis: Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade

05.01.2016, 21:25

sklap

Beweis: Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade

Meine Frage:
Der Beweis soll mit dem Differenzenquotienten durchgeführt werden.

Meine Ideen:
Für eine gerade Funktion gilt g(x)=g(-x)
Also gilt für die Ableitung
$\begin{eqnarray*} g'(-x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(-x-h)-g(-x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x-h)-g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{-h} = -\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = -g'(x) \end{eqnarray*}$

Das 2.Gleichheitszeichen gilt, weil g gerade ist.
Beim 3. bin ich mir nicht sicher, ob ich bei h einfach das Vorzeichen umdrehen darf.
Geht das so ?
Danke im Voraus !

05.01.2016, 21:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von sklap (Vorzeichen korrigiert)

$\begin{eqnarray*} g'(-x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(-x{\color{red}+}h)-g(-x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x-h)-g(x)}{h} \end{eqnarray*}$

So wird ein Schuh draus.

05.01.2016, 21:43

sklap

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Hallo HAL 9000,
danke für deine Hilfe !

Die restlichen Gleichheitszeichen sind dann richtig ?

05.01.2016, 21:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von sklap
Beim 3. bin ich mir nicht sicher, ob ich bei h einfach das Vorzeichen umdrehen darf.

Was du da machst, entspricht einer Substitution $\begin{align*} \tilde{h}:=-h \end{align*}$ . Was man durchaus machen darf, denn mit $\begin{align*} h \to 0 \end{align*}$ geht auch $\begin{align*} \tilde{h} \to 0 \end{align*}$ , und umgekehrt.

Und ja, die restlichen Gleichheitszeichen gehen in Ordnung.

05.01.2016, 21:52

sklap

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OK - danke dir !!

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