Komplexe Nullstellen Quadratische Funktion

06.01.2016, 10:36

Punkbuster1991

Komplexe Nullstellen Quadratische Funktion

Meine Frage:
Hallo

ich habe eine Frage zu den Komplexen Nullstellen.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} s^2-2s+4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Nullstellen berechne bekomme ich nach PQ Formel:

$\begin{eqnarray*} s_1 = 1+j*\sqrt3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_2 = 1-j*\sqrt3 \end{eqnarray*}$

Soweit klar.

Jetzt meine Frage: Wie komme ich auf Folgende darstellung?

$\begin{eqnarray*} (-js+\sqrt3 +j)(js+\sqrt3 -j) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Vorraus
Mit freundlichen Grüßen

Matthias

Meine Ideen:
Ich hätte jetzt gedacht:

$\begin{eqnarray*} (s+1+j\sqrt3)(s+1-j\sqrt3) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aber ausmultiplizier komme ich nicht auf die Quadratische Gleichung vom Anfang.

06.01.2016, 10:53

Elvis

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$\begin{eqnarray*} s^2-2s+4=(s-s_1)(s-s_2)=(-j(s-s_1))(j(s-s_2)) \end{eqnarray*}$

Du hast mehrere Vorzeichenfehler.

06.01.2016, 10:55

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RE: Komplexe Nullstellen Quadratische Funktion
Alternativ $\begin{eqnarray*} s^2-2s+4=3+s^2-2s+1=3+(s-1)^2=3-(i(s-1))^2 \end{eqnarray*}$
und jetzt die dritte binomische Formel.

06.01.2016, 11:08

Punkbuster1991

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Komplexe Nullstellen Quadratische Funktion
Ah stimmt 2 Binomische Formel.

Also:
$\begin{eqnarray*} (s-(1+j\sqrt3))(s-(1-j\sqrt3)) \end{eqnarray*}$
funktioniert

Aber woher kommt diese Form:

$\begin{eqnarray*} (-j(s-s_1))(j(s-s_2)) \end{eqnarray*}$

gilt die nur für die 2 Binomische Formel ?

MFG

06.01.2016, 12:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Punkbuster1991
Aber woher kommt diese Form:

$\begin{eqnarray*} (-j(s-s_1))(j(s-s_2)) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{align*} 1=-j^2 = (-j)\cdot j \end{align*}$ , und diese 1 kann man nun an $\begin{align*} (s-s_1)(s-s_2) \end{align*}$ dranmultiplizieren, ohne dass sich der Wert ändert, und dann lustig die Faktoren vertauschen (dank Assoziativität und Kommutativität der komplexen Multiplikation). Augenzwinkern

06.01.2016, 18:33

Punkbuster1991

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Ah jetzt hab ich es geschnallt.

Danke :-)

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