Indexmenge Vereinigung

06.01.2016, 12:02

Minni227

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Meine Frage:
Hallo,

Aufgabe: siehe Anhang

Könnte mir evtl jmnd den Beweis erklären? Mir ist hier ziemlich viel unklar ...

Beweis: siehe Anhang

Meine Ideen:
Also erst einmal
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} A_{i} \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass die Vereinigung aus allen x besteht, die zu mindestens einem $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ gehören

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I} A_{i} \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass der Durchschnitt aus allen x besteht, die in jedem $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ vorkommen.Ist das soweit richtig?

Jetzt ist mir allerdings schon die erste Zeile nicht klar. Ich sage, dass es ein y gibt, das ein Element von
$\begin{eqnarray*} f( \bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ ist. Soweit klar. Und dass ich ein x als Element von $\begin{eqnarray*} S_{i} \end{eqnarray*}$ definiere auch.

Verwirrend finde ich nun, dass y = f(x) festlege.
Verstehe ich es richtig, wenn ich das so sage:
Die Abbildung heißt f:a --> B und die Abbildungsvorschrift dazu ist $\begin{eqnarray*} f( \bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} f(S_{i}) \end{eqnarray*}$ .
Also ist f(x) sozusagen $\begin{eqnarray*} f( \bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ und y gleich $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} f(S_{i}) \end{eqnarray*}$ ?
Und deswegen eben $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ ?
Verstehe ich das richtig?

Vielen Dank für jede Hilfe

06.01.2016, 12:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Minni227
Die Abbildung heißt f:a --> B und die Abbildungsvorschrift dazu ist $\begin{eqnarray*} f( \bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} f(S_{i}) \end{eqnarray*}$ .

Das ist nicht die Abbildungsvorschrift, sondern die Behauptung, die du beweisen sollst - und zwar für jede denkbare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\;A\to B \end{eqnarray*}$ . unglücklich

06.01.2016, 12:21

Minni227

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Also heißt es nicht, dass $\begin{eqnarray*} f(\bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} f ( S_{i}) \end{eqnarray*}$ in B ?
Was heißt es denn dann?
Ich bin absolut verwirrt :/

06.01.2016, 12:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Minni227
Also heißt es nicht, dass $\begin{eqnarray*} f(\bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} f ( S_{i}) \end{eqnarray*}$ in B ?

Beide Terme beschreiben Teilmengen von $\begin{align*} B \end{align*}$ , und es ist ja gerade die zu beweisende Behauptung, dass diese Teilmengen einander gleich sind. Aber es ist nicht die Definition der Abbildungsvorschrift f, wie du da geschrieben hattest. Das und nur das habe ich richtig gestellt.

06.01.2016, 12:31

Minni227

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Okay, also abgesehen davon, dass es keine Abbildungsvorschrift ist, stimmt der Rest?
Also warum ich $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ festlege?

06.01.2016, 12:41

HAL 9000

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Du solltest dir klar machen, dass das Funktionssymbol $\begin{align*} f \end{align*}$ hier in unterschiedlichem Kontext benutzt wird:

1) Für $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ beschreibt $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ einfach den Funktionswert, d.h., es ist dann $\begin{align*} f(x)\in B \end{align*}$ .

2) Für $\begin{align*} S\subset A \end{align*}$ beschreibt $\begin{align*} f(S) \end{align*}$ die Menge (!) aller Funktionswerte für Argumente aus $\begin{align*} S \end{align*}$ , d.h., es ist exakt definiert

$\begin{align*} f(S) := \left\{ f(x) \bigm| x\in S \right\} \end{align*}$

gemeint. Hier ist dann nicht $\begin{align*} f(S)\in B \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} f(S)\subset B \end{align*}$ . Das wird öfters so gehandhabt (und ist zum Verständnis der Behauptung ja auch unerlässlich), aber es muss einem natürlich erstmal klar sein - und diese Erkenntnis scheint bei dir noch nicht recht durchgedrungen zu sein, jedenfalls lassen das deine Formulierungen

Zitat:

Original von Minni227
Also ist f(x) sozusagen $\begin{eqnarray*} f( \bigcup_{i \in I} S_{i}) \end{eqnarray*}$ und y gleich $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I} f(S_{i}) \end{eqnarray*}$ ?

vermuten. Nur deswegen habe ich das hier nochmal so deutlich ausgeführt.

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