Lokale Parametrisierung

06.01.2016, 16:30	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Parametrisierung Meine Frage: Hallo liebe Matheboardler, ich habe eine vollkommene Blockade, was lokale Parametrisierungen angeht. Ich weiß prinzipiell, dass lokale Parametrisierungen dazu da sind, um Kurven oder Flächen besser zu beschreiben. Allerdings habe ich nicht wirklich eine Ahnung, wie man von einer Kurve auf deren Parametrisierung kommen soll. Nehmen wir als Beispiel die Menge: $\begin{eqnarray} S^2={(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| x^2+y^2+z^2=1} \end{eqnarray}$ , also die Einheitssphäre. Wie komme ich denn auf deren Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma (t)=(cos(\alpha)sin(\beta), sin(\alpha) cos(\beta), cos(\beta)) \end{eqnarray}$ und wie komme ich darauf, dass: $\begin{eqnarray} \gamma: (-\pi, \pi) \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} (0,\pi) -> \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ ist? Oder noch ein Beispiel: $\begin{eqnarray} H={(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| ycos(\frac{z}{2})-xsin(\frac{z}{2})=0} \end{eqnarray}$ Woher weiß ich denn, dass die Parametrisierung hiervon gleich: $\begin{eqnarray} \gamma(u,v) = (ucos(v), usin(v), av) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma: \mathbb R^2 -> \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist? Meine Ideen: Ich würde es einfach gern verstehen, wie man auf solche Parametrisierungen kommt, da ich demnächst eine Klausur schreibe, in der das eventuell vorkommen könnte. LG Poskepia
06.01.2016, 22:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale Parametrisierung Das sind alles nur mögliche, keine zwangsläufigen Parametrierungen der genannten Mengen (bei der zweiten sollte wohl a=2 sein, damit es Sinn macht). Zu dem "woher weiß ich denn...": Das erste sind Kugelkoordinaten und damit Standard - da passt man einfach auf, wenn es besprochen wird bzw. schlägt es später nochmal nach. Und beim zweiten hätte man durchaus auch z als Parameter beibehalten können und das ganze als $\begin{align} \gamma(u,z) = \left( u\cdot\cos\left(\frac{z}{2}\right), u\cdot\sin\left(\frac{z}{2}\right),z\right) \end{align}$ belassen können. EDIT: Bei den Kugelkoordinaten hast du dich auch noch verschrieben - sicher stand da $\begin{eqnarray} \gamma (t)=(\cos(\alpha)\sin(\beta), \sin(\alpha) {\color{red}\sin}(\beta), \cos(\beta)) \end{eqnarray}$ .
07.01.2016, 02:24	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokale Parametrisierung Hallo HAL, ja stimmt, da habe ich mich verschrieben. Das "a" steht aber wirklich bei uns auf dem einen Aufgabenzettel, damit habe ich auch schon gerechnet. Okay, aber wie kommst du denn auf deine Parametrisierung bei der zweiten? Ich meine, woher kommt denn $\begin{eqnarray} ( ucos(\frac{z}{2}), u* sin(\frac{z}{2}), z) \end{eqnarray}$ ? Den Sinus und den Cosinus hast du aus den Bedingungen übernommen, ok. Aber wieso setzt du beides mal $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ als Vorfaktor ein, obwohl ja einmal $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in der Bedingung als Vorfaktor stand? Und woher das $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ jetzt am Ende kommt, ist auch etwas unverständlich für mich. Klar, du hast $\begin{eqnarray} \frac{z}{2} = v \end{eqnarray}$ gesetzt, aber woher kenne ich denn mein "Grundgerüst" der Parametrisierung? Wenn die Aufgabe lauten würde: "Finden Sie eine lokale Parametrisierung von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray*}$ . Wie macht man das? LG Poskepia

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