Lagrangesche Grundpolynome |
06.01.2016, 16:39 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Lagrangesche Grundpolynome Guten Abend Gegeben seien die Stützstellen . Zeigen Sie, dass die Lagrangeschen Grundpolynome linear unabhängig sind und die Summe eine konstante Funktion ist. Zeigen Sie weiter für und , dass . Meine Ideen: Ich weiß leider nicht, wie die Aussagen zeigen soll. Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen. |
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06.01.2016, 16:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gar nichts? Die letzte Aussage z.B. kann man doch einfach durch Ausrechnen der Ableitung von (erweiterte Produktregel für zwei oder mehr Faktoren) direkt verifizieren. ---------------------------- Lineare Unabhängigkeit liegt dann vor, wenn aus für alle zwingend folgt, dass ist. Im vorliegenden Fall muss man dazu nur die Werte für nacheinander mal einsetzen.
Anscheinend hast du dich verschrieben und meinst . |
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06.01.2016, 18:06 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Lineare Unabhängigkeit Nullpolynom: Aus folgt und somit . Stetige Funktion Ja, ich meinte . Omega-Funktion Für gilt . Jedoch verstehe ich nicht, warum das Produkt nicht den Index annehmen darf. Magst du mir das bitte näher erläutern? Ich habe es mir versucht an dem Beispiel n=3 zu veranschaulichen. |
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06.01.2016, 18:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist falsch: Nach Multiplikationsregel gilt , letzteres schlicht wegen für alle j. |
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06.01.2016, 18:22 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum gilt und nicht ? Ich leite doch nach . Und warum muss im Produkt gelten? |
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06.01.2016, 18:28 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was bestreitest du: oder (Ableitung einer Konstanten) ??? ist völliger Humbug, es gilt allenfalls , was aber eine völlig andere Funktion ist. Ansonsten: https://de.wikipedia.org/wiki/Produktreg...s_zwei_Faktoren |
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06.01.2016, 18:39 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Oh nein, wie peinlich! Entschuldige bitte, ich bestreite natürlich nichts. |
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06.01.2016, 18:42 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bezüglich der Omega-Funktion Wie kann ich nun hier zeigen, dass dies das Lagrangesche Grundpolynom darstellt? |
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06.01.2016, 18:43 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aufpassen: Im Nenner steht nicht , sondern . Rechne das doch bitte erstmal separat aus. Und sollte klar sein: Einfach "kürzen". |
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06.01.2016, 18:52 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für gilt im Nenner . |
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06.01.2016, 18:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Nur für den Summanden j=k gibt es dann im Produkt kein i=k, d.h., dieser Summand bleibt, während die Summanden für die anderen j verschwinden. Langsam sollte sich der Nebel lichten. |
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06.01.2016, 19:07 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Daraus müsste dann folgen: Ist das korrekt? |
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06.01.2016, 19:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, und dann ist es ja nur noch ein winziger, eher formaler Schritt. |
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06.01.2016, 19:24 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Lagrangesche Grundpolynome
Wie kann ich dies zeigen? |
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06.01.2016, 19:25 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst sicherlich: |
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06.01.2016, 19:26 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1) ist als Summe von Polynomen -ter Ordnung selbst ein Polynom von maximal der Ordnung . 2) Rechne mal für alle aus. |
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06.01.2016, 19:36 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
usw. |
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06.01.2016, 20:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Eine Antwort auf 2) gewinnt man jedenfalls bereits daraus:
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06.01.2016, 20:23 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Eindeutigkeit der Lagrangeschen Grundpolynome leuchtet mir ein, jedoch nicht was ich draus folgern kann, um zu zeigen, dass eine konstante Funktion ist. |
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06.01.2016, 20:25 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich zeigen, dass die folgenden beiden Punkte gelten.
Ist das korrekt? |
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06.01.2016, 20:39 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Durch das Einsetzen einer der Stützstelle ergibt sich: |
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06.01.2016, 23:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, und zwar für alle . Damit hat das Polynom mindestens die Nullstellen , ist aber andererseits nur ein Polynom höchstens -ten Grades ... Das bedeutet was? |
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06.01.2016, 23:44 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Polynom n-ten Grades kann nur n Nullstellen haben. Wenn es jedoch (n+1) Nullstellen gibt, sind zwei Nullstellen nicht verschieden voneinander. |
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06.01.2016, 23:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das ist es nicht - die sind sämtlich verschieden.
Ausnahme: Das Nullpolynom. |
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06.01.2016, 23:56 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube, du musst mir etwas auf die Sprünge helfen. |
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06.01.2016, 23:57 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na vielleicht denkst du einfach mal drüber nach - es liegt alles auf dem Tisch. |
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07.01.2016, 08:31 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Daraus folgt, dass das Lagrange Polynom ein Polynom nullten Grades ist. Die Stützstellen werden somit mittels einer Gerade interpoliert. Durch deine Idee (Nullpolynom mit Grad n mit n+1 Nullstellen ) wird das Polynom horizontal nach unten verschoben. Damit ein Nullpolynom sein kann, muss ein Polynom mit dem Wert 1 sein. Wenn ein Polynom einen Wert ohne Variable annimmt, ist das Polynom eine konstante Funktion. |
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07.01.2016, 08:44 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Manches ist etwas eigenartig formuliert, vor allem ist die Reihenfolge deiner Kausalkette etwas seltsam. Aber im Endergebnis stimmt es, es ist für alle , d.h. ist eine konstante Funktion. |
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07.01.2016, 09:06 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Durch (Nullpolynom mit Grad n mit n+1 Nullstellen ) wird das Polynom horizontal nach unten verschoben. Damit muss ein Polynom mit dem Wert 1 sein. Daraus folgt, dass das Lagrange Polynom ein Polynom nullten Grades ist. Die Stützstellen werden somit mittels einer konstanten Funktion (Geraden) interpoliert. Ist der Gedankengang so besser und sinnvoller formuliert? |
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07.01.2016, 10:11 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, so in etwa. Man sollte natürlich beachten (hatte ich oben in meinen Beschreibungen auch stets drauf geachtet), dass bzw. dann auch nicht ein Polynom n-ten Grades, sondern als Summe von Polynomen n-ten Grades ein Polynom maximal n-ten Grades ist (durch Summation von Polynomen kann es ggfs. zu Auslöschungen der höheren Potenzen kommen): Denn es stellt sich ja gerade am Ende heraus, dass es kein Polynom n-ten Grades, sondern nur ein Polynom 0-ten Grades (=Konstante) ist - das ist ja der Witz an der ganzen Geschichte. |
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07.01.2016, 11:15 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Lagrangesche Grundpolynome Vielen Dank. Ich habe noch eine weitere Aufgabe bezüglich der Lagrangeschen Grundpolynomeund würde mich freuen, wenn du mir auch da weiterhelfen könntest. Und zwar möchte ich für die Lagrangeschen Grundpolynome die Normalform des Polynoms bestimmen. Wie fange ich da am besten an? |
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07.01.2016, 14:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm, mir ist nicht ganz klar, worauf das hinauslaufen soll (sicher, dass der Term stimmt?), aber rechne doch einfach mal drauflos, wieder mit der verallgemeinerten Produktregel. Vielleicht "lohnt" es sich auch, die ganz vorn ja mal bewiesene Darstellung hier anzuwenden? |
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07.01.2016, 18:17 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
______________________________________________________________ Hinweis von meinem Dozenten: Summe in einzelne Summen aufsplitten, die Eindeutigkeit des Lagrangeschen Grundpolynome ausnutzen und anschließend ableiten ______________________________________________________________ einsetzen: Wäre dies bezüglich des Hinweises richtig? |
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07.01.2016, 20:56 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine andere Vorgehensweise: |
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08.01.2016, 10:28 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wo kommt das her? Oder sprichst du von ? Da muss ich wieder auf
verweisen - ich hab nämlich langsam den Eindruck, dass du es in dieser Hinsicht an Sorgfältigkeit vermissen lässt. |
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08.01.2016, 10:53 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab nochmal nachgeschaut. Der Term stimmt. folgt aus dem Einsetzen der Stützstellen. |
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08.01.2016, 10:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du einfach nur ohne weitere Erläuterung schreibst, dann nehme ich an du meinst, dass das für alle und alle gelten soll. Und das ist offensichtlich nicht der Fall, ich würde das sogar als groben Unfug bezeichnen. EDIT: Jetzt langsam geht mir erst auf, was du in Wahrheit meinst: Für bezeichne , das ist wieder (wie oben) ein Polynom maximal -ter Ordnung. Durch Berechnung erhält man für , das entspricht genau den Funktionswerten von . Zwei Polynome maximal -ten Grades, die an (mindestens) verschiedenen Stellen übereinstimmen, müssen aber identisch sein (dieselbe Begründung wie oben bei dem ). D.h., am Ende meinst du tatsächlich (ohne das verdammte i als Index rechts), wobei du es nur für den Fall formuliert hast, aber es gilt eben auch für . (Für die Lösung der Aufgabe ist es jedenfalls ziemlich hilfreich, das auch für diese kleineren m zu haben.) Warum du das trotz meiner ausdrücklichen Bitte um Überprüfung nicht korrigiert hast, finde ich schon ziemlich enttäuschend - und bedenklich, was eine weitere vertrauensvolle Zusammenarbeit im Thread betrifft. |
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10.01.2016, 21:54 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das tut mir leid, ich habe gedacht, du sprichstt von einer anderen Gleichung.
Deine Herleitung/ Begründung diesbezüglich habe ich verstanden. Vielen Dank dafür. Lösungsansatz Ist der Lösungsansatz so richtig gewählt und sinnvoll entsprechend des folgenden Hinweises?
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