Stetigkeit einer Abbildung beweisen

06.01.2016, 22:21	Managuas	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Abbildung beweisen Meine Frage: f: (-1,unendlich) ->R mit x-> { ((1+x)1/2-1)/ ( (1+x)1/3-1), falls x ungleich 0 {e, falls x=0 Meine Ideen: Kann mir jemand helfen ich weiß nicht wie ich das beweisen kann also mit welchem Kriterium
07.01.2016, 07:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Abbildung beweisen Ich nehme mal an da steht $\begin{eqnarray} x \mapsto \begin{cases} \frac { ( 1+ x)^{\frac 1 2} - 1} { ( 1+x)^{\frac 1 3 } - 1} & \text{ falls } x \neq 0 \\ e & \text{ falls } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ . Außerhalb von $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ist die Stetigkeit klar, und in der 0 tut es erweitern mit $\begin{eqnarray} (1+x) - 1 \end{eqnarray}$ und benutzen, dass man dann den Quotient zweier Differenzenquotienten vorliegen hat, oder L'Hospital sollte auch funktionieren.
07.01.2016, 10:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch folgendes nutzen: Mit Abkürzung $\begin{align} t:=(1+x)^{\frac{1}{6}} \end{align}$ gilt für $\begin{align} x\neq 0 \end{align}$ und damit $\begin{align} t\neq 1 \end{align}$ : $\begin{align} \frac{\displaystyle (1+x)^{\frac{1}{2}}-1}{\displaystyle (1+x)^{\frac{1}{3}}-1} = \frac{t^3-1}{t^2-1} = \frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t+1)} = \frac{t^2+t+1}{t+1} \end{align}$ Der Grenzübergang $\begin{align} x\to 0 \end{align}$ entspricht dabei dem Grenzübergang $\begin{align} t\to 1 \end{align}$ . P.S.: Heißt der Threadtitel wirklich "Stetigkeit einer Abbildung beweisen" oder doch eher "Stetigkeit einer Abbildung prüfen" ?

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