Trigonometrische Gleichung lösen

07.01.2016, 06:47

Aths

Trigonometrische Gleichung lösen

Es soll die Gleichung sin(x)+5=5,3 für den Bereich $\begin{eqnarray*} -2\pi;0 \end{eqnarray*}$ gelöst werden.

Als Lösung habe ich 0,30

Stimmt das? Und wie kann man alle Lösungen bestimmen?

07.01.2016, 07:35

adiutor62

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RE: Trigonometrische Gleichung lösen
Der sin ist positiv im 1. und 2. Quadranten.

Es gilt: sinalpha = sin(180°-alpha)
bzw. Im Bogenmaß: sinx =sin(pi-x)

07.01.2016, 08:05

Aths

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Muss ich dann die Periode beachten, wenn ich für den Bereich die Lösungen rausfinden möchte?

07.01.2016, 08:35

adiutor62

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Du musst hier nur den Bereich beachten. In diesem gibt es nur 2 Lösungen.

07.01.2016, 08:49

HAL 9000

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@Aths

Wenn nach Lösungen im Intervall $\begin{align*} [-2\pi,0] \end{align*}$ gefragt ist, und du beantwortest das mit 0,30, dann erübrigt sich eigentlich eine Beantwortung der Frage "Stimmt das?":

Das mindeste ist doch, dass eine angedachte Lösung überhaupt in dem vorgegebenen Intervall liegt...

07.01.2016, 09:44

Aths

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Ich meinte, ob ich sin(x)+5=5,3 richtig gerechnet habe.

07.01.2016, 09:45

Aths

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Zitat:

Original von adiutor62
Du musst hier nur den Bereich beachten. In diesem gibt es nur 2 Lösungen.

Noch -0,30?

07.01.2016, 10:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Aths
Ich meinte, ob ich sin(x)+5=5,3 richtig gerechnet habe.

Irgendwie wird nicht klar, was du eigentlich fragen willst.
Falls deine Frage lautet: "Habe ich die obige Gleichung korrekt in die dann zu lösende Gleichung sin(x)=0,3 umgeformt?", dann lautet die Antwort "ja". smile

07.01.2016, 10:16

Aths

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Ich musste ja die Gleichung dann mit sin^-1 lösen, und meine Frage war, ob das Ergebnis, das da rauskommt richtig ist.

07.01.2016, 11:35

klarsoweit

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Welches Ergebnis meinst du? Etwa 0,3 ? Bei mir ist sin(0,3) = 0,2955 und selbst das ist gerundet. Nun gut, als auf 2 Stellen gerundetes Ergebnis könnte man 0,3 (besser 0,30) gelten lassen. Allerdings ist das keine Lösung im gesuchten Intervall, worauf schon HAL 9000 hinwies.

Hinweis: im Intervall $\begin{eqnarray*} [-2\pi, 0] \end{eqnarray*}$ gibt es 2 Lösungen.

07.01.2016, 11:41

Verwirrter06

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Ist nicht -2pi und 0 identisch ? verwirrt

07.01.2016, 11:51

Aths

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Zitat:

Original von klarsoweit
Welches Ergebnis meinst du? Etwa 0,3 ? Bei mir ist sin(0,3) = 0,2955 und selbst das ist gerundet. Nun gut, als auf 2 Stellen gerundetes Ergebnis könnte man 0,3 (besser 0,30) gelten lassen. Allerdings ist das keine Lösung im gesuchten Intervall, worauf schon HAL 9000 hinwies.

Hinweis: im Intervall $\begin{eqnarray*} [-2\pi, 0] \end{eqnarray*}$ gibt es 2 Lösungen.

Dann wäre meine Frage, wie ich das Intervall in meine Rechnung miteinbeziehe.

07.01.2016, 12:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Aths
Dann wäre meine Frage, wie ich das Intervall in meine Rechnung miteinbeziehe.

Nutze die 2pi-Periodizität der Sinusfunktion und subtrahiere 2pi von 0,3 .

Zitat:

Original von Verwirrter06
Ist nicht -2pi und 0 identisch ?

Der Sinus hat an diesen Stellen den gleichen Wert. Ansonsten sind das zwei völlig unterschiedliche reelle Zahlen. Augenzwinkern

07.01.2016, 12:48

Verwirrter06

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Aber wenn ich bei Null -2pi am Einheitskreis, also im Uhrzeigersinn, "marschiere", lande ich wieder bei Null.
Also fallen 0 und -2pi zusammen und es gibt kein Intervall.
Wo liegt mein Denkfehler ? verwirrt

07.01.2016, 13:26

HAL 9000

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Irgendwie schräg, in welche Richtung du die Diskussion hier lenkst. Es geht doch immer noch um die Lösungen der Gleichung $\begin{align*} \sin(x)=0.3 \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} [-2\pi,0] \end{align*}$ , dazu mal eine Skizze:

Die $\begin{align*} x \end{align*}$ -Koordinaten der beiden Schnittpunkte zwischen roter und grüner Kurve sind die gesuchten Lösungen. Das mal als graphische Untermauerung zu dem, was hier schon zur Rechnung gesagt wurde (und sicher noch gesagt wird).

07.01.2016, 13:32

Aths

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Aths
Dann wäre meine Frage, wie ich das Intervall in meine Rechnung miteinbeziehe.

Nutze die 2pi-Periodizität der Sinusfunktion und subtrahiere 2pi von 0,3 .

Zitat:

Original von Verwirrter06
Ist nicht -2pi und 0 identisch ?

Der Sinus hat an diesen Stellen den gleichen Wert. Ansonsten sind das zwei völlig unterschiedliche reelle Zahlen. Augenzwinkern

Also ungefähr 6,28-0,3= 5,98

07.01.2016, 13:36

HAL 9000

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"subtrahiere 2pi von 0,3" ist was anderes als "subtrahiere 0,3 von 2pi". unglücklich

07.01.2016, 13:52

Aths

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Ja stimmt andersherum. Das ist dann die erste Lösung, und wie komme ich auf die zweite Lösung?

07.01.2016, 14:16

klarsoweit

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Wie du an dem Plot von HAL 9000 erkennen kannst, ist $\begin{eqnarray*} sin(-\frac 3 2 \pi - d) = sin(-\frac 3 2 \pi + d) \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir $\begin{eqnarray*} -\frac 3 2 \pi - d = 0,3 - 2\pi \end{eqnarray*}$ setzen, dann ist $\begin{eqnarray*} -\frac 3 2 \pi + d \end{eqnarray*}$ eine weitere Lösung, die auch in das gewünschte Intervall fällt.

07.01.2016, 14:22

Aths

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Danke für das. Kannst du mir sagen was das d bedeutet?

07.01.2016, 14:41

klarsoweit

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Das ist sozusagen der Abstand deiner ersten Lösung von der Stelle $\begin{eqnarray*} - \frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ . smile

07.01.2016, 14:44

Aths

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist sozusagen der Abstand deiner ersten Lösung von der Stelle $\begin{eqnarray*} - \frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ . smile

Also -3/2pi+0,3?

07.01.2016, 15:11

klarsoweit

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Orientiere dich doch mal etwas mehr an dem Funktionsgraphen. Der Abstand d einer ersten Lösung x_1 von $\begin{eqnarray*} -\frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} d = -\frac 3 2 \pi - x_1 = -\frac 3 2 \pi - (0,3 - 2\pi) \end{eqnarray*}$ . Diesen Abstand mußt du nun zu $\begin{eqnarray*} -\frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ addieren, um zu der 2. Lösung x_2 zu kommen.

07.01.2016, 18:10

Aths

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Wenn ich den Abstand von der ersten Lösung ausrechne, ist das dann -3/2Pi+5,98= 1,27?

08.01.2016, 11:55

klarsoweit

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Im Prinzip ja, aber warum rechnest du Ausdrücke mit pi unbedingt aus?

Rechne doch einfach: $\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac 3 2 \pi + d = -\frac 3 2 \pi -\frac 3 2 \pi - (0,3 - 2\pi) = -\pi -0,3 \end{eqnarray*}$

08.01.2016, 12:10

HAL 9000

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Alternativ kann man auch so vorgehen:

Man hat die beiden Grundlösungen $\begin{align*} \arcsin(0.3)\approx 0.3047 \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \pi-\arcsin(0.3)\approx 2.8369 \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right] \end{align*}$ .

Alle weiteren reellen Lösungen ergeben sich durch periodische Fortsetzung (d.h. Addieren/Subtrahieren von ganzzahligen Vielfachen von $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ ) aus diesen beiden Lösungen.

Bezogen auf das Intervall $\begin{align*} [-2\pi,0] \end{align*}$ hier bedeutet das jeweils einmal Subtrahieren von $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ für diese beiden Grundlösungen, d.h.,

$\begin{align*} 0.3047-2\pi \approx -5.978 \end{align*}$
$\begin{align*} 2.8369-2\pi \approx -3.446 \end{align*}$ .

Grundsätzlich ist es egal, ob man wie von klarsoweit vorgeschlagen die lokale Symmetrie bzgl. $\begin{align*} -\frac{3}{2}\pi \end{align*}$ ausnutzt, oder sich nur die eine Symmetrie bzgl. $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ im Grundintervall "merkt", dafür dann aber die $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Periodizität einbezieht.

08.01.2016, 13:55

Aths

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Danke für die Lösungen.

Und -Pi-0,3 ist dann d?

08.01.2016, 14:01

HAL 9000

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klarsoweit hat deutlich geschrieben $\begin{align*} x_2 = -\pi-0.3 \end{align*}$ , d.h., es ist die zweite Lösung, nicht $\begin{align*} d \end{align*}$ . Wie groß $\begin{align*} d \end{align*}$ ist, hat er weiter oben auch schon geschrieben.

Es ist schon beinahe ärgerlich, wie unglaublich viele deiner Nachfragen mit ein bisschen simpler Konzentration beim Lesen vermeidbar wären.

08.01.2016, 14:05

Aths

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Ich wollte nur sicher gehen.

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