Primkörper, Elemente bestimmen

07.01.2016, 09:18

HeinrichT

Primkörper, Elemente bestimmen

Meine Frage:
Man bestimme einen Körper mit p^4 Elementen für p = 3, 5

Meine Ideen:
Hallo,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Wie gehe ich da am besten vor?

Vielen Dank

07.01.2016, 10:28

Elvis

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Für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray*}$ . Man erhält einen solchen Körper, indem man eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eines irreduziblen Polynoms $\begin{eqnarray*} f\in\mathbb F_p[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ adjungiert: $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^n}\cong\mathbb F_p[X]/(f(X))=\mathbb F_p(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Das Polynom 4. Grades darf keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ und keine quadratischen Faktoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p[X] \end{eqnarray*}$ haben.

07.01.2016, 14:53

HeinrichT

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Vielen Dank für den Tip. Das habe ich auch schon in einem Buch so gelesen, leider weiss ich trotzdem nicht so ganz genau was ich jetzt machen muss

Ich muss jetzt ein Polynom 4.Grades bestimmen welches keine Nullstellen haben darf und keine quadratischen Faktoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p[X] \end{eqnarray*}$ haben darf....

So was wie

x^4 +x^3 +1
x^4 +x+1
x^4 +x^3 +x^2 +x+1. ?

und was genau heißt für p=3,5?

07.01.2016, 15:04

HAL 9000

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Das hat Elvis doch schon gesagt: Du musst eins finden, welches diesen Forderungen

Zitat:

Original von Elvis
Das Polynom 4. Grades darf keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ und keine quadratischen Faktoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p[X] \end{eqnarray*}$ haben.

genügt. Ersteres ist ja relativ leicht erfüllbar, letzteres ist schon kniffliger.

Ich weiß jetzt nicht, ob es ein Polynom gibt, welches (formal) sowohl für p=3 sowie auch p=5 passt - muss ja auch nicht sein. Augenzwinkern

07.01.2016, 17:07

Elvis

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Es gibt für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein irreduzibles Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

@HeinrichT : "Für p=3,5" heißt 1. für p=3 und 2. für p=5.
Deine ersten beiden Beispiele sind mod 3 reduzibel, das dritte Beispiel ist mod 5 reduzibel, denn 1 ist jeweils eine Nullstelle. Du darfst dir etwas mehr Mühe geben.

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