Kreis an Kreise Problem

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Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, wenn es gehen würde, könnte der erste Beitrag durch diese korrigierte Version ersetzt werden (Formelfehler bei beta und Schreibfehler), denn es sind einiger Fehler aufgetreten die mir jetzt erst aufgefallen sind:
-----------------

Ich habe ein Problem mit der Bestimmung des dritten Kreise der zwei andere berühren soll, es kommt nicht das herraus was ich vorgezeichnet (in Geoegebra) habe, ich finde den Feher nicht.

Ich gebe mal Geoegebra Koordinaten für die jeweiligen Kreise, die Radien und die Winkel an.

Radius des kleinen Kreis (r)
vorgegeben mit: 1.5
Geoegebra koordinaten
A(r) = 0,0

Radius des großen Kreis (R)
berechnet sich durch: R = r/tan^2(alpha/2)
alpha, vorgegeben mit: 30°
Geoegebra koordinaten
B(R) = 11.196152425,-19.3923048494 (gerundet auf 10 Stellen)

Radius des ganz kleinen Kreis (r')

der ganz kleine Kreis berührt den Schnittpunkt für die Kreissehne des großen Kreises und berührt den kleinen Kreis.

beta = arcsin(tan^2(alpha/2)+2*tan(alpha/2))

beta = Winkel des Schnittpunktes für die Kreissehne des großen Kreises
so liegen der Außenrand (links) des kleinen Kreises und der Schnittpunkt der Kreissehne des großen Kreises auf einer vertikalen Linie.

(R+r)^2=(r+r')^2+(R+r')^2
r' = 1/2 ((r^2+6 r R+R^2)^0.5-r-R)
r' = 1.32153
passt nicht
Geoegebra Wert: 1.94355^2 (gerundet auf 5 Stellen)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du das so erklären, dass man/ ich es versteht/verstehe.
welche Sehne etc

was ist denn gegeben...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maria C.
der ganz kleine Kreis berührt den Schnittpunkt für die Kreissehne des großen Kreises und berührt den kleinen Kreis.

Erstaunt1

Ich weiß nicht, wie es anderen beim Verständnis dessen geht, aber ich fände eine Skizze ganz angebracht, denn aus deiner Beschreibung werde ich nicht schlau, wie man sich die Situation hier vorzustellen hat.

Und auch wenn ich das mal beiseite lasse, und nur an die Grundsituation "ein dritter Kreis berührt zwei vorgegebene Kreise" denke: Das reicht nicht zur eindeutigen Festlegung des dritten Kreises, man benötigt noch eine weitere Bedingung.
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt hier einen plot für Parametrische Funktion, würde der gehen um es zu visualisieren, nur ich müsste wissen wie man ihn bedieht (Grade, Kreise einzeinet und in unterschiedlichen Farben), damt es passt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich helf kurz aus.

Beim Parameterplot gibst Du nach den Achsen die Funktionen mit Variable t ein, erst für die horizontale, dann für die vertikale Achse. Der Einheitskreis wird also mit cos(t),sin(t) eingegeben. Und die Gerade y=2x+1 mit t,2*t+1. Du kannst beides in ein einziges Diagramm zeichnen, indem Du die Terme mit Kommas trennst, also cos(t),sin(t),t,2*t+1 :



Viele Grüße
Steffen, schon wieder weg
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

könnte ein bischen dauern, ich werde versuchen die Werte von Geogebra zu übernehmen
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

warum stellst du die Aufgabe nicht im O-Ton verwirrt
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

die Kreise habe ich schon nur die Graden, vertikale und horizontale fehlen



es wird der Radius des blauen Kreises gesucht, mit den Greaden würde es noch besser ausehen, ich versuche es noch hinzubekommen

Mit "-1.5,t,t,-2.8" noch die gewünschten zwei Geraden eingefügt. Steffen

das verstehe ich nicht:

warum stellst du die Aufgabe nicht im O-Ton
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

diese Aufgabe wird doch irgendwie in Worte = O(riginal) -Ton gefaßt sein, oder verwirrt

gegeben:
kleiner Kreis: Mittelpunkt, Radius
großer Kreis: M, R
Gerade: ?

gesucht: Kreis(e), die die beiden Kreise und die Gerade berühren

oder so ähnlich wird es doch irgendwo stehen unglücklich
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

ich bekomme die Vertikale ( x = -1.5, y = 0 ) und horizontale ( x = 0 , y = -2.8002551431 ) nicht hin mit.

wer es kann kann noch die Graden mit einfügen (die Vertikale berühert den roten Kreis links und die Stellen wo sich der blaue und der grüne Keis berühren, die Horizontale scheide nur den grünen Kreis und die Vertikale), oder mir schreiben wie

die Horizontale stellt auch gleich die Kreissehe da

einn orginal Text gibt es nicht, ich habe versucht das was ich in Geogebra versuche hinzubekommen ( den Radius des blauen Kreisses zu bestimmen) zu beschreiben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Skizze jetzt so verstanden:

Roter und grüner Kreis sind gegeben (jeweils durch Mittelpunktskoordinaten und Radius), zusätzlich ist noch ein Punkt auf dem grünen Kreis vorgegeben.

Gesucht ist nun der blaue Kreis, der die beiden gegebenen Kreise berührt, wobei diese Berührung bei dem grünen Kreis in dem vorgegebenen Punkt geschehen soll.
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

die Skizze passt

Ja, habe es in Geogebra (per Hand) versucht hinzubekommen, wenn ich jetzt die Formel nehme

(R+r)^2=(r+r')^2+(R+r')^2
r' = 1/2 ((r^2+6 r R+R^2)^0.5-r-R)
r' = 1.32153
passt nicht
Geoegebra Wert: 1.94355^2 (gerundet auf 5 Stellen)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maria C.
(R+r)^2=(r+r')^2+(R+r')^2

Woher kommt dieser "Pythagoras"-Ansatz? Ich sehe kein diesbezügliches rechtwinkliges Dreieck. verwirrt
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte da kein Winkel angesetzt, es sah nach 90° aus, es sind aber ca. 1.62° abweichung, hatte ich nicht bedacht

wie wäre es mit einem allgemeinem Dreieck?
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

allgemeines Dreieck

c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma)

(R*(1-cos(alpha))-r)^2+r^2 = r'^2+(r+r')^2-2*r*(r+r')*cos(gamma)

(r/tan^2(alpha/2)*(1-cos(alpha))-r)^2+r^2 = r'^2+(r+r')^2-2*r*(r+r')*cos(gamma)

1/2 r^2 (cos(2*alpha)+3)=r'^2+(r+r')^2-2*r*(r+r')*cos(gamma)

nur gamma fehlt
temporary Auf diesen Beitrag antworten »

Der blaue Kreisradius könnte sich mit Hilfe der apollonischen Kugelpackung bestimmen lassen?

2.math.uni-wuppertal.de/~volkert/Das%20Apollonische%20Beruehrproblem,%202007.pdf
temporary Auf diesen Beitrag antworten »

wenn Sie damit Einverstanden ist, eine sehr einfache Lösung, beide Kreise rot und bau gleich groß
R = r'/tan^2(alpha/2)
arcsin(r'/(R+r'))
arcsin(r'/(r'/tan^2(alpha/2)+r'))
arcsin(sin^2(alpha/2))
2*arcsin(sin^2(alpha/2))+alpha
arcsin(tan^2(alpha/2)+2*tan(alpha/2)) = 2*arcsin(sin^2(alpha/2))+alpha
alpha = 31.0980336527558
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

passt, in geogebra Freude

nur wie bist du auf alpha gekommen genau der Winkel von 31,0980336527558°, weil einfach ein Zahl ausdenken kann ich auch, aber die passt? verwirrt verwirrt
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maria C.

Geoegebra Wert: 1.94355^2 (gerundet auf 5 Stellen)


Kann es sein, dass gleich nach dem Komma eine 3 hingehört? Ich bekomme nämlich als Radius für den gesuchten (blauen) Kreis 1.3941126 . . . .

Wenn ich alle Angaben zusammenfasse, ergibt sich für mich folgende Skizze:

[attach]40384[/attach]

Vom Koordinatenursprung (O), in dem ein (roter) Kreis mit Radius 1.5 sitzt, geht eine Strecke bis zu Punkt (11.196152425,-19.3923048494), der gleichzeitig Mittelpunkt eines (grünen) Kreises mit Radius ~20.8923 ist.

Der grün markierte Winkel kann berechnet werden, da der mit S bezeichnete Punkt der Schnittpunkt der horizontalen Gerade mit dem grünen Kreis ist.

Jetzt sind im Dreieck MNO ein Winkel und - bis auf das Reststück r' in zwei Seiten - alle Seitenlängen bekannt.

Und das ist mit dem Cosinussatz lösbar; Ergebnis siehe oben.
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

Skizze ist OK

mit dem Cosinussatz lösbar ?

c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma) ??

nur r' und gamma sind unbekannt, oder ist gamma auch "berechenbar" ?

der Wert von: 1.94355^2
war so dargestellt, wenn man aus 1.94355, 1.94355^0.5 macht kommt genau 1.3941126 heraus
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maria C.

der Wert von: 1.94355^2
war so dargestellt, . . . .


Sorry, das "^2" habe ich glatt übersehen, es bedeutet dann aber Quadratwurzel.


Wie gesagt ist der grün markierte Winkel bekannt bzw. berechenbar - zur Kontrolle: 7.42303537° gerundet.

Dann wäre Seite c:

Seite b:

Seite a:

Der Cosinussatz ist Dir ja bekannt; damit solltest Du zurecht kommen.
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre Seite c:

muss c nicht immer die längste sein, habe ich so gelernt?

mal ein setzen

c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma)

(r+r')^2 = (R+r')^2+(R+r)^2-2*(R+r')*(R+r)*cos(beta-alpha)

r' = 2 R (r+R) sin^2((beta-alpha)/2)/(r-R+(r+R) cos(beta-alpha))

passt, nur ich drösel es nicht weiter auseinander, so dass nur noch r und alpha übrig sind, das wird zu "kompliziert"

sehr cool gelöst

könnte man da noch eins, wenn möglich, die Tangete bestimmen (wie bei einer Fahrradkette, aber nur die "Oberseite") zwischen dem roten und dem blauen Kreis, nur wenn möglich?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bezeichnungen in einem Dreieck sind meines Wissens frei wählbar, der Rechenweg ist im Grunde immer gleich.


Zum Problem "Tangente an zwei Kreisen" hier ein einfaches, allgemeines Beispiel als Denkanstoß.

[attach]40386[/attach]

Da die beiden Radien in den jeweiligen Berührpunkten normal auf die Tangente stehen, sind sie parallel.

Der grün markierte Winkel ist berechenbar, am einfachsten über den Tangens.
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste der Winkel sein

arctan((r'-r)/(r'+r))
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nein. Für den Arcustangens benötigst Du die beiden Katheten, es sind aber eine Kathete und die Hypotenuse gegeben.
Daher welche Arcus-Funktion?
Maria C. Auf diesen Beitrag antworten »

keine Ahung

ich habe noch im Kopf, die Kürzung GAG, wobei die Hypotenuse immer die längeste Seite ist.
sin(x) = Gengenkate / hypotenuse (Gegen / hy)
cos(x) = Ankate / hypotenuse (An / hy)
tan(x) Gegenkate / ankete (Gegen / an)

ankate = r'+r oder r'-r
hypotenuse = die grüne Seite

der grüne Winkel ist schlecht zu erkennen, mit welchem "Pogramm" hast du das gemacht?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Winkelsätze hast Du richtig zitiert, aber genauso wichtig ist zu erkennen: wo ist die Hypotenuse (H), wo sind die beiden Katheten.

Die grüne Seite kann in diesem Dreieck nicht H sein, weil sie nicht die längste Seite ist. Das ist doch deutlich zu sehen.

H ist vielmehr (r' + r) bzw. (1.5 + 1).
Die Kathete, deren Länge wir kennen, ist (r' - r). Und weil sie am Winkel liegt, heißt sie Ankathete.

Und damit kommt nur der Cosinus in Frage.

Solche grundsätzlichen Dinge solltest Du üben, die kann man hier nicht erschöpfend behandeln.
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