Hilbertscher Nullstellensatz

07.01.2016, 16:35	kathi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilbertscher Nullstellensatz Meine Frage: Unser Dozent hat gesagt, dass der Hilbertsche Nullstellensatz uns einen 1 zu 1 Zusammenhang zwischen Idealen und Varietäten liefert. Hier unsere Formulierung der Satzes: K algebraisch abgeschlossen, f, f_1,...,f_s aus K{x_1,...,x_n}. Dann sind äquivalent: (i) f aus I ( V (f_1,...,f_s) (ii) Es existiert ein m >=1, s.d. f^m aus <f_1,...,f_s>. Was versteht man überhaupt unter einem 1 zu 1 Zusammenhang in der Mathematik? Und wieso folgt ein 1 zu 1 Zusammenhang von Idealen und Varietäten aus dem Nullstellensatz? Meine Ideen: Wenn f aus V(I) verschwindet, dann gibt es eine Potenz von f, die zu I gehört. Wo ist da der Zusammenhang zwischen Varietät und Ideal?
07.01.2016, 17:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertscher Nullstellensatz Ein "1-zu-1-Zusammenhang" ist eine Bijektion. So etwas besteht aber vielmehr zwischen sogenannten Radikalidealen und Varietäten. Ist $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ein Ideal, so dass aus $\begin{eqnarray} f^m\in I \end{eqnarray}$ stets auch $\begin{eqnarray} f\in I \end{eqnarray}$ folgt (ein "Radikal"), so ist nach dem Nullstellensatz $\begin{eqnarray} I=I(V(I)) \end{eqnarray}$ . Umgekehrt ist sowieso $\begin{eqnarray} V=V(I(V)) \end{eqnarray}$ für Varietäten $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ .

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