Var(k*X) = k^2 * Var(X) ... mit k beliebig reelle Zahl |
| 07.01.2016, 19:33 | Chemiestudent2,718 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Var(k*X) = k^2 * Var(X) ... mit k beliebig reelle Zahl Hallo, für eine beliebige Zufallsvariable X und eine beliebige reelle Zahl k gilt: Var(k*X)=(k^2)*Var(X) Den Beweis dafür verstehe ich soweit, bis auf die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeiten für X anscheinend einfach mit den Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen k*X gleichgesetzt werden. Ich verstehe nämlich nicht was mit "k*X" überhaupt gemeint ist ! Wenn für ein X eine begrenzte Anzahl an Werten/Merkmalen (und eine zugehörige P-Verteilung) defeniert ist, kann ich natürlich, wenn ich Lust zu habe, alle Werte für X mit einer Zahl multiplizieren sofern das selbst Zahlen sind. Im falle eines diskreten X werden dann für die meisten reellen Zahlen Werte raus kommen die für X nicht definiert sind und zu denen es ja überhaupt keine Wahrscheinlichkeit gibt. Und wenn es zufällig so ein k ist, dass wieder ein möglicher Wert für X rauskommt, ist die Wahrscheinlichkeit dazu ja "Irgendetwas". Falls es nur für stetige X gelten sollte kann das k*X ja leicht außerhalb des def. Intervalls liegen und der Rest ist das selbe in grün. Also verstehe ich nicht ganz wie man für "k*x" überhaupt einen Erwartungswert und eine Varianz ausrechnen kann (???) Ich hoffe, ich konnte rüberbringen was mein Problem damit ist. Das selbe Problem habe ich nämlich auch mit Var(X1+X2)= Var(X1)+ Var(X2). Was soll "X1+X2" eigentlich sein? Könnte mir das vl jemand so einfach wie möglich erklären? Ich wäre sehr Dankbar! LG Meine Ideen: Zusammengesetztes Ereignis aus k mal dem gleichen Elemenentarereignis ...Dann kann P dafür aber nicht die slebe sein |
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| 08.01.2016, 13:42 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Var(k*X) = k^2 * Var(X) ... mit k beliebig reelle Zahl Mit k*X ist gemeint, dass die Werte, die eine Zufallsvariable bei einem Zufallsexperiment annimmt, mit einer konstanten Zahl k multipliziert werden. Diese neuen Werte kann man dann als Werte einer neuen Zufallsvariablen Y betrachten. Du kannst es ja mit einem leichten Beispiel überprüfen, z. B. wir würfeln einmal mit einem echten Würfel und schreiben dann aber das doppelte der geworfenen Augenzahl auf. Dann steht X für die beim Würfeln erzielbaren Augenzahlen und k ist 2. Unsere neue Zufallsvariable Y=k*X kann somit die Werte 2, 4, 6, 8, 10, 12 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Y den Wert 12 annimmt, den wir aufschreiben, ist also gleich der Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, also X=6. Das hat nichts damit zu tun, dass eine 12 beim Würfeln gar nicht vorkommt, also die Zufallsvariable X selbst nicht den Wert 12 annehmen kann. Berechne nun mit den bekannten Formeln die Erwartungswerte und Varianzen von X und Y, dann wird sich zeigen, dass E(Y)=2*E(X) und Var(Y)=4*Var(X). Entsprechend heißt X1 + X2 eben, dass man aus den Zufallsvariablen X1 und X2 eine neue Zufallsvariable (etwa wieder Y) definiert, der die Summe von X1 und X2 zugeordnet wird. Z. B. Summe der Augenzahlen beim Würfeln mit zwei echten Würfeln. Dann (sofern X1 und X2 unabhängig bzw. unkorreliert sind) ist die Varianz von Y gleich der Summe der Varianzen von X1 und X2. Kannst Du auch nachprüfen, erfordert aber mehr Mühe, da man mehr Möglichkeiten betrachten muß. Z. B. kann Y nur 2 werden, wenn X1=1 und X2=1, aber Y kann 4 werden, wenn X1=2 und X2=2 oder wenn X1=1 und X2=3 usw. |
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