Stetigkeit einer Potenzreihe

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07.01.2016, 20:02

forbin

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Stetigkeit einer Potenzreihe

Hallo Leute smile

das hier bereitet mir ziemliche Kopfschmerzen traurig

Es soll gezeigt werden, dass eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(c) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n} \end{eqnarray*}$ mit positivem Konvergenzradius im Nullpunkt konvergiert.

Nun, dazu habe ich mir überlegt, das ich das $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium anwenden könnte.

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_{0})| = |\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n} - a_{0}| = |\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}c^{n}| \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich ja, dass die Reihe konvergiert, sagen wir gegen s.
Also gilt: $\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}c^{n}| -> |s-a_{0}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} |c-c_{0}| = |c-0| = |c| <\delta \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich jetzt nicht weiter.
Ist der Ansatz der richtige?

08.01.2016, 07:29

MeMeansMe

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RE: Stetigkeit einer Potenzreihe
Hey,

wahrscheinlich musst du es dir gar nicht so kompliziert machen. Wenn du mal überlegst, was passiert, wenn

$\begin{eqnarray*} f(0) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot 0 \end{eqnarray*}$ ,

kommst du ganz schnell auf die Lösung. Du hast ja schon den Wert benutzt, gegen den die Reihe konvergiert. Wenn du zeigst, welcher Wert das konkret ist, dann hast du auch gezeigt, dass sie konvergiert smile

08.01.2016, 10:09

HAL 9000

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Ich denke, du hast dich hier

Zitat:

Original von forbin
Es soll gezeigt werden, dass eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(c) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n} \end{eqnarray*}$ mit positivem Konvergenzradius im Nullpunkt konvergiert.

ein wenig in der Formulierung vertan: Jede solche Potenzreihe konvergiert für $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ , selbst bei Konvergenzradius $\begin{align*} R=0 \end{align*}$ , es ist dann einfach $\begin{align*} f(0)=a_0 \end{align*}$ .

Was du vermutlich meinst ist, dass $\begin{align*} f(c) \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ stetig ist - auch die Threadüberschrift legt das nahe.

08.01.2016, 11:13

Der forbin

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@HAL: ja, das stimmt. So ist die Formulierung auch.

@Me: Aber f(0) ist doch nicht null, sondern $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ ?

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