Stammfunktion bilden

07.01.2016, 20:43

KnowMath

Stammfunktion bilden

Hallo,
soweit habe ich verstanden, wie man Stammfunktionen bildet. Allerdings komme ich bei folgendem Beispiel überhaupt nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+2)^{3} \end{eqnarray*}$
Könnte mir wer die Regel nennen, um von solchen Funktionen die Stammfunktion zu bilden?

07.01.2016, 20:45

Mathema

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Integration mit Kettenregel - ist hier das Stichwort.

smile

edit: Etwas einfacher wird es, wenn du noch 2 ausklammerst.

07.01.2016, 21:36

KnowMath

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Sagt mir jetzt leider gar nichts.... verwirrt

07.01.2016, 21:40

Mathema

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Dann machen wir es zusammen. Mit, oder ohne ausklammern?

07.01.2016, 21:41

KnowMath

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Ohne ausklammern smile

07.01.2016, 21:49

Mathema

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Alles klar - ich zeige dir das mal an einem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(5x+7)^6 \end{eqnarray*}$

Wir überlegen uns folgendes:

Beim Integrieren erhöht sich der Exponent um 1, also:

$\begin{eqnarray*} (5x+7)^7 \end{eqnarray*}$

Leiten wir diesen Term mit der Kettenregel wieder ab, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 7(5x+7)^6\cdot5 \end{eqnarray*}$

Wir müssen die Faktoren 7 und 5 (innere Ableitung) wieder ausgleichen. Also:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{5}(5x+7)^7+c=\frac{1}{35}(5x+7)^7+c \end{eqnarray*}$

Prinzip verstanden? Dann probiere mal.

07.01.2016, 22:08

KnowMath

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Bei meiner Funktion wäre das dann:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+2)^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x+2)^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4(2x+2)^{3}\cdot2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}(2x+2)^{4}+c=\frac{1}{8}(2x+2)^{4}+c \end{eqnarray*}$

In den Lösungen steht:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{8}(2x+3)^{4} \end{eqnarray*}$
Dies wird wahrscheinlich ein Druckfehler sein, oder?

07.01.2016, 22:09

Mathema

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Deine Lösung ist richtig. Freude

07.01.2016, 22:10

KnowMath

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Vielen Dank! Freude

07.01.2016, 22:13

Mathema

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Gerne. Beim Ausklammern fällt die innere Ableitung weg (sie ist 1), daher vereinfacht sich dieses etwas:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+2)^3=8(x+1)^3 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} F(x)=8\cdot \frac{1}{4}(x+1)^4=2(x+1)^4 \end{eqnarray*}$

Aber das nur als Ergänzung.

Wink

07.01.2016, 22:47

Bjoern1982

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Zitat:

Könnte mir wer die Regel nennen, um von solchen Funktionen die Stammfunktion zu bilden?

Vielleicht noch abschließend dazu:

Die Methode, die man hier benutzen könnte, nennt sich "Integration durch Substitution".
Herleiten könnte man damit dann auch eine Regel, die allgemein für lineare, innere Funktionen gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{a} \cdot G(ax+b) \end{eqnarray*}$

Hier in dem Beispiel wäre dann g(x)=x³ gewesen, so wie a=2 und b=2.

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