Abbildung verknüpfungstreu?

08.01.2016, 12:53

pusteblume987

Abbildung verknüpfungstreu?

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
Überprüfen g: $\begin{eqnarray*} \left(Z_{4}, +\right) -> \left(Z^{*}_{12}, \cdot \right) \end{eqnarray*}$ , g $\begin{eqnarray*} \left(\left[a\right] _{4} \right) = \left[6a+ 1\right] _{12} \end{eqnarray*}$ auf Verknüpfungstreue.

Meine Ideen:
Im Prinzip weiß ich, das verknüpfungstreu wenn f(a*b) = f(a) * f(b),
$\begin{eqnarray*} Z_{4} = \left\{ 0,1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} Z_{12} ^{*} = \left\{ 1,5,7,11\right\} \end{eqnarray*}$
Aber ich kann mit dem $\begin{eqnarray*} \left[a\right] _{4} = \left[6a+ 1\right] _{12} \end{eqnarray*}$ nicht viel anfangen...

08.01.2016, 14:03

Elvis

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Das Urbild $\begin{eqnarray*} [a]_4 \end{eqnarray*}$ der Abbildung liegt in $\begin{eqnarray*} Z_4 \end{eqnarray*}$ , das Bild $\begin{eqnarray*} [g([a]_4)]_{12} \end{eqnarray*}$ der Abbildung in $\begin{eqnarray*} Z_{12}^* \end{eqnarray*}$ . So ist die Abbildung g definiert. Definitionsbereich und Wertebereich sind Mengen von Restklassen mod 4 und mod 12.

08.01.2016, 14:28

pusteblume987

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überprüfe ich dann einfach:
6 (a+b) + 1 = (6a +1) x (6b + 1) ?

08.01.2016, 18:08

Elvis

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Nein, Du überprüfst die folgenden 16 Gleichungen.
$\begin{eqnarray*} g([0+0]_4)=g([0]_4)=[6*0+1]_{12}=[1]_{12}=[1]_{12}*[1]_{12}=[6*0+1]_{12}*[6*0+1]_{12}=g([0]_4)*g([0]_4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g([0+1]_4)=g([1]_4)=[6*1+1]_{12}=[7]_{12}=[1]_{12}*[7]_{12}=[6*0+1]_{12}*[6*1+1]_{12}=g([0]_4)*g([1]_4) \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} g([3+3]_4)=g([6]_4)=g([2]_4)=[6*2+1]_{12}=[1]_{12}=[49]_{12}=[7]_{12}*[7]_{12}=[6*3+1]_{12}*[6*3+1]_{12}=g([3]_4)*g([3]_4) \end{eqnarray*}$

08.01.2016, 18:40

HAL 9000

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Eigentlich reicht der Nachweis $\begin{align*} 6(a+b)+1\equiv (6a+1)\cdot (6b+1)\bmod 12 \end{align*}$ für alle a,b, insofern ist

Zitat:

Original von pusteblume987
überprüfe ich dann einfach:
6 (a+b) + 1 = (6a +1) x (6b + 1) ?

doch richtig.

09.01.2016, 09:11

Elvis

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Man kann auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein nichttrivialer Homomorphismus der $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ in die $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ ist.

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