Fouriertransformation abschätzen

08.01.2016, 15:37	mathemensch123	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation abschätzen Liebes Matheboard, ich suche einen Weg, wie ich Abschätzungen, die ich für eine Funktion f habe, auf eine Reihe ihrer Fouriertransformierte übertragen kann. Konkret: Sei $\begin{eqnarray} f_t \in \mathcal{S}( \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ eine Schwartz-Funktion, die von einem Parameter t abhängt. Ich kenne das Abfallverhalten von $\begin{eqnarray} f_t \end{eqnarray}$ in t. Und bin nun am Abfallverhalten von $\begin{eqnarray} \left\vert \sum_{n\in \mathbb{Z} } \hat{f}_t (n) \right\vert \end{eqnarray}$ interessiert, wobei $\begin{eqnarray} \hat{f}_t (n) = \int_{-\infty }^{\infty } e^{-2\pi inx} f_t (x) dx \end{eqnarray}$ die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray} f_t \end{eqnarray}$ ist. Das Problem, das auftritt ist das folgende: Wende ich Dreiecksungleichung an und setze für $\begin{eqnarray} \vert \hat{f}_t (n) \vert \end{eqnarray}$ das Abfallverhalten, das ich kenne, ein, ist dies von n unabhängig und das ganze divergiert. Andererseits kenne ich das Abfallverhalten von $\begin{eqnarray} \hat{f}_t (n) \end{eqnarray}$ in n (Fourier-Transformierte bilden Schwartz-Funktionen auf Schwartz-Funktionen ab), was mir zwar die Konvergenz gibt, jedoch keine Aussage über das Abfallverhalten in t. Wie kann ich beides zusammenbringen? Hat jemand eine Idee?
08.01.2016, 20:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation abschätzen Geht das überhaupt? Für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|f_t(x)\|=\|f_t(x)e^{-2\pi i k x}\| \end{eqnarray}$ , beide Funktionen haben also nach meinem Verständnis das gleiche Abfallverhalten. Die Fourierkoeffizienten sind aber doch um k verschoben. Wie sollen die also das gleiche Abfallverhalten haben? Kann natürlich gut sein, dass Abfallverhalten auch die Ableitungen mit einschließt. Dann ist das natürlich hinfällig. Hier würde Klarheit über den Begriff Abfallverhalten helfen.
09.01.2016, 10:41	mathemensch123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die flotte Antwort, die ich jedoch nicht ganz verstehe... Was meinst du damit, dass die Fourierkoeffizienten um k verschoben sind? Es geht auch nicht zwingend um ein gleiches Abfallverhalten, sondern darum, eine Aussage über das Abfallverhalten prinzipiell machen zu können. "Abfallverhalten" schließt hier sämtliche Ableitungen (sowohl nach x als auch nach t) ein, sorry, das hätte ich erwähnen sollen. Doch wie ist das für deine Aussage wichtig?
09.01.2016, 11:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee wäre folgende gewesen: $\begin{eqnarray} g_t(x):=f_t(x)e^{-2\pi i k x} \end{eqnarray}$ hat das gleiche Abfallverhalten wie $\begin{eqnarray} f_t \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \hat{g}_t(n)=\hat{f}_t(n+k) \end{eqnarray}$ (das meinte ich mit verschobenen Fourierkoeffizienten). Egal wie dein Abfallverhalten für die FK von f_t aussieht, es wird für g_t nicht passen - obwohl beide Funktionen das gleiche Abfallverhalten haben. Das ist natürlich hinfällig, wenn die Ableitungen mit einbezogen werden. Kannst du dein Abklingverhalten mal bitte konkret beschreiben?

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