Umkehrproblem Galoistheorie

08.01.2016, 22:29	Methop	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrproblem Galoistheorie Meine Frage: Ich versuche mich momentan an der Galoistheorie. Aufstellen von Galoisgruppen von entsprechenden Körpererweiterungen ist kein Problem, allerdings komme ich bei einer Frage in Sachen Umkehrung nicht weiter: Ich möchte eine galoische Körpererweiterung über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ finden, deren Galoisgruppe isomorph ist zur $\begin{eqnarray} A_{3} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also, vorerst kann ich schon mal klären, dass es nur einen Isomorphietyp bei Gruppen der Ordnung 3 gibt, da Gruppen von Primzahlordnung immer zyklisch und damit ist $\begin{eqnarray} A_{3} \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ . So weit, so gut; Jetzt ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ ja insbesondere eine abelsche, endliche Gruppe. Aus einem Buch weiß ich nun, dass man mittels des Dirickletschen Primzahlsatz eine (eigentlich unendliche Anzahl, aber ich möchte am Ende wenigstens eine Körpererweiterung haben) Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ findet, sodass gilt $\begin{eqnarray} p\equiv 1 mod 3 \end{eqnarray}$ . Das ist zum Beispiel bei 7 der Fall. So, jetzt teilt 3 also die Ordnung von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/7\mathbb Z)^ \cong Gal(\mathbb Q(\xi_{7})/\mathbb Q) \end{eqnarray}$ . Demnach finde ich einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} h:\underbrace{(\mathbb Z/7\mathbb Z)^}_{\cong \mathbb Q(\xi_{7})/\mathbb Q} \rightarrow \underbrace{ \mathbb Z/3\mathbb Z }_{\cong A_{3}} \end{eqnarray}$ . Jetzt bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob das nun schon das Ende ist. Prinzipiell kann ich noch sagen dass, $\begin{eqnarray} A_{3} \cong (\mathbb Q(\xi_{7})/\mathbb Q)/ker h \end{eqnarray}$ nach dem Homomorphiesatz. Das wars dann auch schon. Ich bin mir einfach nicht sicher, ob ich hier fertig bin und eigentlich wüsste ich gerne auch eine Lösung ohne Verwendung von dem Primzahlsatz.
09.01.2016, 11:46	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrproblem Galoistheorie Hallo, das klingt ja alles sehr gut, was du da sagst, und daraus kann man ja schliessen, das das Polynom X^7-1 die galoisgruppe A_3 bzw. Z/3Z haben muss. Habe mir bei wolframalpha ein Bild von den Nullstellen von X^7-1 angesehen und nachgeprüft, welche Nullstellen man permutieren kann, ohne die Gesetze zu verletzen, und das kommt hin. gruss ollie3
09.01.2016, 12:21	Methop	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrproblem Galoistheorie Okay, das klingt ja schonmal gut, allerdings verwirrt mich dabei, dass $\begin{eqnarray} \vert Gal(\mathbb Q(\xi_{7})/\mathbb Q) \vert = 6 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \vert \mathbb Z/3\mathbb Z \vert = 3 \end{eqnarray}$ . Der Grad der Körpererweiterung ist doch gleich der Elemente der Galoisgruppe...
09.01.2016, 13:17	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrproblem Galoistheorie Hallo, sorry, du hast natürlich recht, X^7-1 muss ja dann die galoisgruppen S_3 oder Z/6Z haben. Was gibt es denn dann für ein Polynom mit der galoisgruppe A_3? gruss ollie3

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