Textaufgabe: Ableitung/Nullstellen

09.01.2016, 12:14

ChrisMi

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Textaufgabe: Ableitung/Nullstellen

Hi lieben Foren-Mitglieder,

bisher waren die Übungsaufgaben der Mathe-Vorlesung immer recht einfach.

Anbei eine Text-Aufgabe bei der ich überhaupt nicht weiß, was ich tun soll.

Klar ist: Ableiten und Nullstelle bestimmen.

Doch wie soll das gehen?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann.

[attach]40388[/attach]

09.01.2016, 12:52

Bjoern1982

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Woran scheiterst du denn beim Ableiten, schon beim Erkennen der hier passenden Ableitungsregel ?

09.01.2016, 14:01

ChrisMi

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Offen gesagt bin ich überfordert aufgrund der vielen Variablen.

Ich weiß gar nicht, wie ich das Paket am besten angehe.

Mit den Ableitungsregeln habe eigentlich keine Probleme.

Herzlichen Dank schon mal.

09.01.2016, 14:11

Bjoern1982

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Da deine Funktion wegen E(v) ja von v abhängt, musst du auch nach v ableiten (genau so wie du bei f(x) nach x ableiten musst).
Alle anderen Variablen behandelt man dann wie Konstanten (also wie eine Zahl).
Da hier ein Bruch, also ein Quotient, steht, würde sich anbieten, hier die Quotientenregel zu benutzen.
Magst du es mal versuchen oder reicht das als Hilfestellung noch nicht aus ?

09.01.2016, 14:22

ChrisMi

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Hey, vielen Dank für deine Hilfe.

Ich probier's jetzt mal!

09.01.2016, 14:36

ChrisMi

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So, ich hab's mal probiert.

E(v)=c*(v^k*s/v-Vb)

s habe ich, um es zu vereinfachen, mal vor den Bruch gestellt.

Entsprechend:

c*s*(v^k/v-Vb)

Danach habe ich die einzelnen Teile bestimmt:

u=v^k
u'=k*v^(k-1)

v=v-Vb
v'=1

Daraus folgt:

E'(v)=c*s*(k*v^(k-1)*v-Vb-v^k)/(V-Vb)^2

So, es könnte auch der gänzlich falsche Ansatz sein.

Aber ab spätestens hier verzweifle ich erneut. Auch, weil ich nicht weiß, wie ich solche Terme (mit so vielen Variablen) am besten vereinfache.

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09.01.2016, 15:31

Bjoern1982

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Soweit ich das erkennen kann, sollte das so passen.
Freunde dich aber vielleicht mal etwas mit dem Formeleditor auf dieser Seite an:

http://www.matheboard.de/formeleditor.php

Bei solchen Aufgaben wird das dann nämlich irgendwann nur noch schwer zu entziffern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich übernehme das mal eben mit dem übersichtlichen Schreiben:

$\begin{eqnarray*} E'(v)=c \cdot s \cdot \frac{k \cdot v^{k-1} \cdot (v-V_B)-v^k}{(v-V_B)^2} \end{eqnarray*}$

Je nachdem welches Kriterium du für Extrempunkte kennst, müsstest du das sogar nochmal ableiten, also die 2. Ableitung bilden.

Für die notwendige Bedingung, musst du natürlich erst mal E '(v)=0 nach v auflösen.
Dabei bietet es sich an, zu beachten, dass ein Bruch nur dann Null werden kann, wenn der Term im Zähler Null wird.
Daher kannst du c,s und den Nennerterm im Endeffekt ignorieren.
Wenn man den Zählerterm gleich Null setzt, dann könnte man z.B. direkt $\begin{eqnarray*} v^{k-1} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

09.01.2016, 15:56

ChrisMi

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Wow, vielen Dank. Das ermutigt mich auf jeden Fall.

Leider weiß ich noch nicht so genau, wie ich jetzt am besten weitermache, wenngleich dein Hinweis auf jeden Fall wertvoll war, auch für zukünftige Aufgaben.

Also: Ich nehme mir den Zähler und klammere $\begin{eqnarray*} v^{k-1} \end{eqnarray*}$ aus, ja? Aber wie sieht das konkret aus?

Ich setze das Paket gleich 0 ... und dann einfach nach v auflösen?!

Herzlichen Dank schon mal für deine tolle Unterstützung Freude

Freude

09.01.2016, 16:11

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} k \cdot v^{k-1} \cdot (v-V_B)-v^k=0 \Leftrightarrow v^{k-1} \cdot (...)=0 \end{eqnarray*}$

Das wäre der Ansatz für das weitere Vorgehen.
Ausklammern heißt nach wie vor, dass man jeden Summanden durch das, was man ausklammert, dividiert.

09.01.2016, 16:39

ChrisMi

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Danke dir, ich versuche es.

Mal noch eine Zwischenfrage: Kommt bei dieser Gleichung überhaupt irgendeine Zahl raus?

In der Aufgabe steht ja konkret, „für welche Geschwindigkeit verbraucht der Fisch ..."

Oder ist das wurschd?

09.01.2016, 16:44

Bjoern1982

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v wird letztendlich von k und VB abhängen. Wink

Wink

09.01.2016, 17:23

ChrisMi

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Man ...

Diese Mathematik. :-)

Also keine konkrete Zahl, ja, hätte ich mir ja auch zusammenreimen können, haha.

09.01.2016, 17:58

Bjoern1982

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Kannst dein Ergebnis ja zur Kontrolle dann mal posten. Freude

Freude

10.01.2016, 09:38

ChrisMi

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Guten Morgen,

ich habe jetzt mal ein paar Minuten probiert und komme zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} k*v^{k-1}*(v-V_{b}-\frac{v^{k}}{v^{k-1}})=0 \end{eqnarray*}$

Sollte das korrekt sein, kann ich nach 0 auflösen.

k fällt weg.

Wir wollen v, drum bleibt das stehen, Klammer-Term fällt auch weg?!

Bleibt am Ende dann ...

$\begin{eqnarray*} v^{k-1}=0 \end{eqnarray*}$

... übrig?

Herzliche Grüße,
Chris

10.01.2016, 09:59

Bjoern1982

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Wenn du k mit ausklammerst, dann musst du es beim zweiten Summanden auch mit einbeziehen (den Malpunkt bekommst du mit \cdot) :

$\begin{eqnarray*} k \cdot v^{k-1} \cdot (v-V_{b}-\frac{v^{k}}{k \cdot v^{k-1}})=0 \end{eqnarray*}$

Den Term $\begin{eqnarray*} \frac{v^{k}}{k \cdot v^{k-1}} \end{eqnarray*}$ kann und sollte man noch mittels Potenzgesetz zusammenfassen.

Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird.
Diesen Zusammenhang brauchst du beim Lösen der Gleichung (der Klammerterm fällt nicht einfach so weg).

10.01.2016, 10:29

ChrisMi

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v ist ja in diesem Fall die gleiche Basis, k habe ich als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ vor den Bruch geschrieben, sodass Zusammenfassen via Potenzgesetz stehen bleibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{v^{-1}}{k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k \cdot v} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Okay, also, dann ist das $\begin{eqnarray*} v^{k-1} \end{eqnarray*}$ vor der Klammer eine potenzielle Nullstelle und das, was in der Klammer steht.

Ich denke hierbei an z. B. x(term), wobei sowohl x eine 0 sein kann, als auch der Inhalt der Klammer, stimmt das so?

Wenn das korrekt ist, dann müsste ich beide Teile gleich 0 setzen und lösen.

10.01.2016, 10:36

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{v^{-1}}{k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k \cdot v} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig, denn k-(k-1)=...

Zitat:

dann ist das $\begin{eqnarray*} v^{k-1} \end{eqnarray*}$ vor der Klammer eine potenzielle Nullstelle

Die Stelle selbst ist lediglich v=..., nicht der ganze Term.
Die Frage ist, wann denn $\begin{eqnarray*} v^{k-1} \end{eqnarray*}$ zu Null wird und ebenso, ob diese Lösung für v dann überhaupt relevant ist.

Zitat:

Wenn das korrekt ist, dann müsste ich beide Teile gleich 0 setzen und lösen.

Ja, nach v auflösen.

10.01.2016, 10:40

ChrisMi

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Ah ja, ich sehe meinen Fehler. Danke dir.

Ja, genau, das $\begin{eqnarray*} v^{k-1} \end{eqnarray*}$ , nach v gelöst, ist eine potenzielle Nullstelle.

Nur: Wie krieg ich das $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ da runter?

Es ist ja wohl kaum die k-1te Wurzel, oder? Haha :-)

10.01.2016, 11:11

Bjoern1982

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Was würdest du denn bei sowas wie v^4=0 oder v³=0 oder v²=0 machen, um nach v aufzulösen und was wäre dann die Lösung für v ?

10.01.2016, 11:30

ChrisMi

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Ich weiß es nicht.

Ich hätte das vermutlich als "nicht zu lösen" abgestempelt.

10.01.2016, 11:38

Bjoern1982

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Puh krass...
Dann fehlen dir aber erhebliche Grundlagen und es macht dann evtl. eher nicht so viel Sinn sich direkt an so ein Kaliber an Aufgabe zu wagen.
Die Lösung der erwähnten Gleichungen ist immer v=0.
Eben weil v²=0 z.B. ja nichts anderes ist als v mal v =0 und daher kann nur Null rauskommen, wenn v selbst Null ist.
Die Frage ist dann nur noch, ob v=0 hier überhaupt relevant ist, wenn man sich mal die Definitionsbereiche anschaut.

10.01.2016, 11:52

ChrisMi

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Hm ja, ich dachte die ganze Zeit an: Wurzel aus 0. Und das ist ja nicht möglich.

Deine Erklärung ergibt Sinn.

Ja und: Freilich fehlen mir Grundlagen, die ich gerade aufarbeiten will, entsprechend im Zuge der Mathe-Vorlesung, die ja Gott sei Dank eigentlich immer (für mich) lösbare Aufgaben hervorbringt. (Ich bin auch kein Mathe-Student.)

Ich will nur auch schwere Aufgaben verstehen können, diese Aufgabe war entsprechend mal eine Klausur-Aufgabe (Altklausur) und ist eine Übungsaufgabe.

Aber ergibt das dann überhaupt Sinn? Eine solche Aufgabe zu stellen, wenn die Ergebnisse derart sind?

10.01.2016, 12:00

Bjoern1982

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Zitat:

Hm ja, ich dachte die ganze Zeit an: Wurzel aus 0. Und das ist ja nicht möglich.

Klar ist das möglich.
Die Wurzel aus Null ist eben Null, da $\begin{eqnarray*} 0 \cdot 0=0 \end{eqnarray*}$ .
Ebenso ist die 3. Wurzel aus Null wieder Null, da $\begin{eqnarray*} 0 \cdot 0 \cdot 0=0 \end{eqnarray*}$ usw.

Zitat:

Aber ergibt das dann überhaupt Sinn? Eine solche Aufgabe zu stellen, wenn die Ergebnisse derart sind?

Das ergibt schon alles Sinn und diese Aufgabe fragt eben z.B. genau ab, ob man in der Lage ist auch allgemein (ohne Zahlen) abzuleiten, ob man Gleichungen zum einen lösen und auch die Gültigkeit der Lösungen mittels Definitionsbereich prüfen kann.
Wie gesagt gibt es neben v=0 (Gültigkeit prüfen) ebenso noch eine andere Lösung für v (wir haben ja auch noch den Term in der Klammer).

10.01.2016, 12:05

ChrisMi

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Okay.

Ja, ich verstehe die Intention. Ich finde die Aufgabe nur sehr aufgeblasen in Relation zu dem, was dann am Ende verlangt wird.

Und genau das ist das Schwierige für mich. Dann einfach bei den Basics zu bleiben (sofern man sie kennt :-) ) und entsprechend stur damit zu arbeiten.

Ja, den Term in der Klammer schaue ich mir jetzt auch noch mal an.

10.01.2016, 12:16

Bjoern1982

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Zitat:

Ich finde die Aufgabe nur sehr aufgeblasen in Relation zu dem, was dann am Ende verlangt wird

Stört dich der Anwendungsbezug ?
Sonst meckern viele Leute ja immer, wenn es alles so theoretisch und nichtssagend ohne Anwendung ist.
Künstlich in die Länge gezogen ist da eigentlich nichts.
Es ist für eine vollständige Aufgabenstellung nun mal notwendig, dass auch alle der dort vorkommenden Variablen entsprechend erklärt und definiert werden.
Das ist hier ohne Ballast meiner Meinung nach auch ziemlich gut gelungen - weglassen kann und darf man da eigentlich nichts.

10.01.2016, 12:20

ChrisMi

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Gut, also:

Nach deinem Input (k-(k-1)):

$\begin{eqnarray*} \frac{v}{k} <br /> \end{eqnarray*}$
Die Klammer entsprechend:

$\begin{eqnarray*} v - V_{B} - \frac{v}{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann die Gleichung nach v lösen:

$\begin{eqnarray*} v = V_{B} + \frac{v}{k} \end{eqnarray*}$

Wenn dies so stimmt, was sagt mir das jetzt?

Insbesondere im Hinblick, dass v vorher bereits 0 war.

Edit: Zu deiner letzten Nachricht:

Für mich, als „Laie", sieht das einfach sehr verwirrend aus mit den vielen Variablen und ich hatte erwartet, dass irgendein Wert dabei rauskommt, was, wie du ja schon zu Beginn gesagt hast, hier nicht der Fall ist.

10.01.2016, 12:48

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn dies so stimmt, was sagt mir das jetzt?

Das stimmt nicht, da "nach v auflösen" bedeutet, dass v auch allein auf nur einer Seite der Gleichung steht.

Zitat:

Insbesondere im Hinblick, dass v vorher bereits 0 war.

Die beiden Terme und Lösungen werden komplett unabhängig voneinander betrachtet.
Eine Gleichung kann ja durchaus auch mehrere Lösungen haben.

Zitat:

sieht das einfach sehr verwirrend aus mit den vielen Variablen und ich hatte erwartet, dass irgendein Wert dabei rauskommt,

Umso schöner und differenzierter betrachtet ist es dann doch eigentlich auch, wenn man dann am Ende einen Ausdruck für v hat, für den du beliebige Werte für VB und k einsetzen kannst und damit dann quasi eine Formel für die optimale Geschwindigkeit hergeleitet hast.

Es mag ungewohnt sein, mit den ganzen Buchstaben statt mit Zahlen zu rechnen.
Jedoch bin ich schon der Meinung, dass man etwas erst dann richtig verstanden hat, wenn man es auch allgemein rechnen/umsetzen kann und nicht nur mit Zahlen.
Begründung: Das Verfahren/die Vorgehensweise selbst ändert sich ja nicht. Man macht dasselbe, nur eben mit Buchstaben statt mit Zahlen.

10.01.2016, 12:56

ChrisMi

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Zitat:

Das stimmt nicht, da "nach v auflösen" bedeutet, dass v auch allein auf nur einer Seite der Gleichung steht.

Oh man, ja stimmt natürlich.

Ok, ich gebe auf :-)

Hätte bestimmt ein paar Teilpunkte gegeben von insgesamt 6 Punkten.

Zitat:

Umso schöner und differenzierter betrachtet ist es dann doch eigentlich auch, wenn man dann am Ende einen Ausdruck für v hat, für den du beliebige Werte für VB und k einsetzen kannst und damit dann quasi eine Formel für die optimale Geschwindigkeit hergeleitet hast.

Es mag ungewohnt sein, mit den ganzen Buchstaben statt mit Zahlen zu rechnen.
Jedoch bin ich schon der Meinung, dass man etwas erst dann richtig verstanden hat, wenn man es auch allgemein rechnen/umsetzen kann und nicht nur mit Zahlen.
Begründung: Das Verfahren/die Vorgehensweise selbst ändert sich ja nicht. Man macht dasselbe, nur eben mit Buchstaben statt mit Zahlen.

Definitiv. Das stimmt.

So - gibt es jetzt irgendwo ein Spenden-Konto, damit man den Nachhilfe-Unterricht hier, oder bei dir, auch entsprechend fördern kann? :-)

10.01.2016, 13:07

Bjoern1982

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Zitat:

Ok, ich gebe auf :-)

Das wäre schade, würde es schon gerne noch mit dir zusammen beenden - sooo viel ist es ja gar nicht mehr. smile

smile

Zitat:

So - gibt es jetzt irgendwo ein Spenden-Konto, damit man den Nachhilfe-Unterricht hier, oder bei dir, auch entsprechend fördern kann? :-)

Das ist nett gemeint und wenn du aus NRW kommst, könnte ich dir womöglich sogar Nachhilfeunterricht anbieten - hier im Forum mache ich das aber natürlich alles ohne Bezahlung.
Ich mache es aus Spaß an der Mathematik und am miteinander auf die Lösung kommen.
Und keiner zwingt mich ja dazu, das hier zu tun. Big Laugh

Big Laugh

Von daher sehe ich das hier auch nicht als Arbeit an, es ist Freizeitbeschäftigung - nichts anderes.

11.01.2016, 10:18

ChrisMi

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Okay, vielleicht setze ich mich später noch mal dran und mache das Paket fertig :-)

Habe dir noch ne PN nachgeschoben.

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